7.3. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой

7.3.1 Угол между прямыми. Условия параллельности и ортогональности.

Пусть даны прямые l₁: у=к₁х+b₁ и l₂: у=к₂х+b₂. Найдем угол μ между этими прямыми (измеряется от L₁ к L₂ против часовой стрелки) (см. рис. 7.10). Заметим, что k₁= tg α₁, k₂= tg α₂ и φ=α₂-α₁. Если φ≠, то C= tg (α₂- α₁)= или

(7.13)

Условия параллельности двух прямых: ,

т

к_1* к₂= –1

к_{1 =} к₂

.е. параллельных прямых означает равенство их угловых коэффициентов. Действительно, из формулы (7.13) следует, что l₁||l₂  φ=0, т.е. tg φ=0  k₂-k₁=0, т.е. k₂=k₁.

Условия ортогональности двух прямых:

,

т.е. к₂= –. Действительно, l₁l₂  φ=, т.е. ctg φ=0  =0  1+к₁к₂=0, т.е. к₁к₂= –1.

7.3.2. Расстояние от точки до прямой.

Найдем расстояние d от точки М₀(х₀, у₀) до прямой l: Ах+Ву+С=0 (см. рис. 7.11).

Пусть точка М₁(х₁, у₁) лежит на прямой l , т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению прямой: Ах₁+Ву₁+С₁=0. Из рис. 40 видно, что искомое расстояние d равно модулю проекции вектора ={х₀-х₁; у₀-у₁} на направление вектора нормали ={А, В}, т.е.

d=||=== =, где учтено, что Ах₁₊Ву₁= –С и ||=. Окончательно:

d=

(7.14)

7.3.3. Точка пересечения двух прямых.

Пусть даны две прямые l₁: А₁х+В₁у+С₁=0 и l₂: А₂х+В₂у+С₂=0. Координаты точки пересечения этих прямых удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными

(7.15)

Если определитель этой системы отличен от нуля Δ=≠0, т.е. , то эта система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера.

Условие параллельности прямых: l₁||l₂  Δ=0  (пропорциональность коэффициентов при переменных или, что тоже самое, коллинеарность векторов нормали этих прямых, см. рис. 7.12б).

Если же =, то прямые совпадают (см. рис. 7.12).

У словие ортогональности прямых (см. рис. 7.12в):

l₁l₂  ₁={А₁, В₁}₂={А₂, В₂}  ₁*₂=0, т.е. А₁ А₂+ В₁В₂=0.

7.4. Геометрический смысл линейных неравенств и систем линейных неравенств на плоскости

а) Линейные неравенства Ах+Ву+С0

Рассмотрим прямую l: Ах+Ву+С=0, которая разбивает всю плоскость на две полуплоскости (см. рис. 7.13). Обозначим через Р₊ ту из них, которую определяет вектор нормали прямой {А, В}, другую обозначим Р_- (см. рис. 7.13). Тогда справедливы утверждения.

1. Точка М(х, у) лежит в полуплоскости Р₊ тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют неравенству

Ах+Ву+С>0 (7.16)

2. Точка М(х, у) лежит в полуплоскости Р_- тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют неравенству

Ах+Ву+С<0 (7.17)

Итак, прямая l: Ах+Ву+С=0 разбивает всю плоскость на две полуплоскости, для одной из которых выполняется неравенство (7.16), а для другой неравенство (7.17).

2. Система линейных неравенств

(7.18)

Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств (7.18), представляет собой пересечение полуплоскостей, определяемых каждым неравенством этой системы.

Пример 7.2. Изобразить на плоскости Оху множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

Решение. Условия х>0 и y>0 указывают на то, что искомое множество лежит в первой четверти. Построим прямую l₁: х-2у+2=0 с нормальным вектором ₁={1; -2}, указывающим, в какой полуплоскости лежит искомое множество (см. рис. 7.14). Построим прямую l₂: х+у-3=0. Тогда ее вектор нормали ₂={1, 1} определяет ту полуплоскость, в которой нет точек искомого множества. Поэтому искомое множество представляет собой четырехугольник ОАВС, изображенный на рис. 7.14.