9. Кривые второго порядка на плоскости.

9.1. Окружность.

Окружностью называется множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии R от заданной точки О.

Точка О называется центром, а R- радиусом окружности.

Введем прямоугольную систему координат Оху, поместив начало системы координат в центр окружности (см. рис. 9.1). Пусть М(х;у)- произвольная точка окружности |ОМ|=R, а |ОМ|=. Тогда получим уравнение =R. Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим каноническое уравнение окружности

х²+у²=R²

(9.1)

Уравнение (9.1) есть уравнение окружности с центром в начале координат и радиуса R.

Если центр окружности помещен в точку С(х₀; у₀) (см. рис. 9.2), то уравнение окружности радиуса R с центром в точке С(х₀; у₀) имеет вид

(х-х₀)²+(у-у₀)²=R²

(9.2)

9.2. Эллипс

Рассмотрим на плоскости две точки F₁ и F₂, расстояние между которыми 2с, и число а>c.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, т.е.

r₁ + r₂=2а

(9.3)

где r₁ =|F₁M| и r₂= | F₂M |- фокальные радиусы произвольной точки М эллипса (см. рис. 9.3).

Для получения уравнения эллипса введем систему координат Оху следующим образом: ось Ох проведем через фокусы эллипса от точки F₁ к точке F₂, а начало системы координат точку О поместим в середину круга F₁F₂ (см. рис. 9.4). Тогда фокусы F₁ и F₂ получают координаты F₁(-с; 0) и F₂(с; 0). Если М (х; у) произвольная точка эллипса, то r₁ =|F₁M|=, и r₂= | F₂M |=.

Подставляя r₁ и r₂ в равенство(9.3), получим

Приведем это уравнение эллипса к более простому виду.

=2а-,

х²+2сх+с²+у²=4а²-4а+ х²-

-2сх+с²+у²,

а =а²-сх,

а²х²-2а²сх+ а²с²+а²у²=а⁴-2а²сх+с²х²,

(а²-с²)х²+а²у²=а²(а²-с²).

В

а²-с²=b²

ведем число b>0, положив .

Тогда b²x²+a²y²=a²b².

Разделив последнее уравнение на a²b², получим каноническое уравнение эллипса

а²-с²=b²

(9.4)

Числа а и b называются большой и малой полуосями эллипса (см. рис. 9.4).

Из уравнения (9.4) вытекает, что эллипс симметричен как относительно координатных осей Ох и Оу, так и относительно начала координат О(0;0)- центра эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называют число

, (9.5)

где ε («эпсилон») удовлетворяет условию: 0<ε<1.

Выясним геометрический смысл ε. Из соотношения, связывающего а, b и с, получим

==, т.е. =.

Теперь ясно, что эксцентриситет характеризует форму эллипса: при уменьшении ε эллипс по форме приближается к окружности, при ε=0 будет b=a и эллипс превращается в окружность; при ε=1 эллипс вырождается в отрезок F₁F₂.

Уравнение эллипса со смещенным центром

Если центр эллипса находится в точке С(х₀; у₀) (см. рис.9.5), то его уравнение примет вид

=1

(9.6)

В заключении отметим, что если в уравнении (9.4) a>b, то фокусы эллипса лежат на оси Ох(см. рис. 58). Если же в уравнении (9.4) a<b, то фокусы эллипса лежат на ординат Оу, а их координаты F₁(0; -с) и F₂(0; с) и

b²-с²=а²