13.4. Ограниченные и неограниченные числовые множества.

Множество ХR называется ограниченным сверху, если найдется такое число сÎR, что х≤с хÎХ, а число с- верхней границей множества Х.

Множество ХR называется ограниченным снизу, если найдется такое число сR, что с≤х хÎХ, а число с- нижней границей множества Х.

Дадим определения верхней и нижней границ на языке логических символов:

(Х ограничено сверху)  (cR хÎХ x≤c);

(Х ограничено снизу)  (cR хÎХ c≤x).

На языке логических символов и кванторов легко дать отрицание какого-либо утверждения или определения. Например,

(Х неограниченно сверху)  (cÎR хÎХ x>c),

т.е. квантор всеобщности заменяется на квантор существования и наоборот. Этот пример показывает, что множество натуральных чисел N неограниченно сверху (см. принцип Архимеда).

Множество ХÌR называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, т.е. существуют числа m, MR такие, что хÎХ m≤x≤M. Это определение равносильно следующему:

(Х ограничено)  ( A>0 хÎХ |x|≤A).

Наименьшим элементом множества Х Ì R называется такой его элемент аХ, что хÎХ а≤х, обозначаем: а=min X.

Наибольшим элементом множества ХÌR называется такой его элемент аХ, что хÎХ х≤а, обозначаем: а=max X.

Верхней гранью (точной верхней границей) множества ХÌR называется наименьшая из всех верхних границ этого множества, обозначается М=sup X= min {aR: хÎХ x≤a}.

Нижней гранью (точной нижней границей) множества ХÌR называется наибольшая из всех нижних границ этого множества, обозначается m=inf X= max {aR: хÎХ a≤x}.

Теорема 13.1. (О существовании верхней (нижней) границ).

Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство основано на аксиоме полноты действительных чисел. Пусть непустое множество Х ограничено сверху: aR: хÎХ x≤a. Обозначим через Y непустое множество верхних границ множества Х, тогда х≤у хÎХ и уÎY. По аксиоме полноты найдется число сR такое, что хÎХ и уÎY

х≤с≤у.

Это неравенство означает, с одной стороны, что с- верхняя грань множества Х, т.е. сY, а с другой стороны, что с- наименьший элемент множества Y, т.е. что с=sup X.

13.5. Числовые промежутки. Окрестность точки.

Дополним числовую прямую двумя символами ±, называемыми бесконечно удаленными точками, при этом хÎR -¥<x<+¥. Тогда множество действительных чисел можно записать в виде

R=(-¥, +¥)={x: -¥<x<+¥}.

Пусть a и b- действительные числа, и пусть a<b.

Числовыми промежутками называем подмножества множества действительных чисел R вида:

[a, b]={xR: a≤x≤b}- отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);

(a, b)={xR: a<x,<b}- интервал (открытый промежуток);

[a, b)={xR: a≤x<b},

(a, b]={xR: a<x≤b}- полуинтервалы;

(-¥, b]={xR: х≤а},

[а, +¥)={xR: ха}- полупрямые;

(-¥, а)={xR: х<а},

(а, +¥)={xR: х>а}- открытые полупрямые.

Длина отрезка I =[a, b] по определению считается равной |I| = |[a, b]|=b-a.

Окрестностью действительного числа (точки числовой прямой) называется любой интервал, содержащий эту точку (см. рис. 13.3а).

Интервал U(x₀, ε)={xR: x₀-ε<x<x₀+ε} с центром в точке х₀ и радиуса ε называется ε-окрестностью точки х₀ (см. рис. 13.3б).

Неравенство х₀-ε<x<x₀+ε или, что тоже самое, |x-x₀|<ε, означает, что х{x₀-ε, x₀+ ε }, т.е.

U(x₀, ε)= {xR: |x-x₀|<ε}.

Замечание. Подчеркнем, что символы + и - не числа. Они символизируют процесс неограниченного удаления точек числовой прямой вправо и влево от нуля.

Пример 13.1. Рассмотрим полуинтервал Х=[0, 1). Это ограниченное множество, т.к. хÎХ 0х1, где 0 – нижняя, а 1 – верхняя границы множества Х. Ясно, что 0= inf X= min X, 1=sup X, т.е. число 0 является как нижней границей множества Х, так и наименьшим элементом этого множества. Число 1 является точной верхней границей нашего множества, наибольшего элемента оно имеет: