10.2. Действия над матрицами.
10.2.1. Сложение матриц.
Рассмотрим
матрицы
и
одного размера m
n,
т.е.
.
Суммой
матриц А
и В
называется матрица
того же размера
,
т.е. при сложении матриц складываются
соответствующие элементы.
Свойства сложения матриц:
1. А+В = В+А; 4. А+(-А) = 0;
2. (А+В)+С = А+(В+С); 5. (А+В)' = А'+В' ,
3. А+0 = А;
где
, 0 – нулевая матрица, -А
– противоположная к А
матрица. Все эти свойства непосредственно
вытекают из определения сложения матриц.
10.2.2. Умножение матрицы на число.
Произведением
-матрицы
на число λ
называется
-матрица
,
т.е. при умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число.
Свойства умножения матрицы на число:
1.
; 4.
α (А+В)=α А+α
В;
2.
α (βА) = (αβ)
А; 5.
(αА)' =
А'
3. (α + β) А = αА + βА ,
где А, В – матрицы, α, β – числа.
10.2.3. Умножение матриц.
Рассмотрим
две матрицы
и
размеров
и
соответственно, т.е. число столбцов
матрицы А
равно числу строк матрицы В.
Произведением
матрицы
на матрицу
называется матрица
размера
,
где
, (10.3)
i=1, 2, …, m, k= 1, 2, …, p.
Д
ругими
словами, элемент сjk
матрицы С=АВ
равен сумме произведений элементов
i-ой
строки матрицы
А на
соответствующие элементы к-го
столбца матрицы В,
т.е. равен скалярному произведению i-ой
вектор- строки Аi=(
аi1
аi2,
…, аin)
матрицы А
на к-й
вектор- столбец Вк=
матрицы В:
сjk=Аi*Bk.
Схематически это выглядит так:
i
Используя запись матриц через вектор- строки и вектор- столбы, можно записать
А•В=
•
=
.
Свойства умножения матриц:
1. (АВ)С=А(ВС), 2. А(В+С)=АВ+АС,
3. (А+В)С=АС+ВС, 4. (λА)В= А(λВ)= λ(АВ),
5. (АВ)/=В/А/.
Пример
10.1. найти АВ
и ВА,
если А=
В=
Р
ешение.
Обе матрицы размера 2×2, поэтому определены
оба произведения: АВ
и ВА.
А
В=
=
ВА=
Этот
пример показывает, что, вообще говоря,
АВ
ВА
Замечание. Скалярное произведение векторов с точки зрения умножения матриц.
Рассмотрим два вектора (вектор- столбца)
=
и
=
из Rn.
Тогда, учитывая замечание 1 пункта 10.1,
получим
(
1×n n×1
,
)=
•
=
=х1у1
+ х2у2+
…+ хnуn=
(x1
x2
… xn)
•
=
/
=
/
.
Последнее
равенство следует из того, что
•
=
•
.
Выведем свойство 5, связывающее умножение матриц с умножением, на примере матриц размера 2×2. Пусть даны две матрицы
А=
=
,
В=
=
,
где А1, А2- вектор- строки матрицы А, а В1, В2- векторы- столбцы матрицы В. Тогда
АВ=
(В1
В2)=
,
(АВ/)=
,
А/=(А
А
),
В/=
,
где А
,
А
-
вектор- столбцы матрицы А/,
а
,
-
вектор- строки матрицы В/.
Найдем В/•А/:
В/
А/=
•(А
А
)=
=
= (АВ)/.
Мы воспользовались замечанием этого пункта, из которого следует, что
(Вi)
/А
=(
А
)/•Вi=Aj•Вi,
i,j= 1,2.
10.3. Квадратные матрицы. Обратная матрица.
Квадратной матрицей порядка n называется матрица размера n×n, т.е. число строк матрицы равно числу ее столбцов:
А=
. (10.4)
Элементы
а11,
а22,
…, аnn
образуют главную
диагональ матрицы А=(аij)
,
.
Транспонирование квадратной матрицы сводится к зеркальному отражению относительно главной диагонали.
Через |А| = ∆ = det A обозначим определитель квадратной матрицы А:
∆ =
det A=
.
Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю: ∆=det A 0 , и вырожденной, если ее определитель равен нулю: ∆=det A = 0
Единичной матрицей порядка n называется квадратная матрица Еn, у которой элементы главной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю:
аij=1, i=1, …, n, аij=0 при i≠j, т.е.
Еn=
.
Единичная матрица Еn обладает свойством: для любой квадратной матрицы А порядка n
АЕn=ЕnА=А,
т.е. эта матрица играет при умножении матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.
Заметим без доказательства, что det (AB)=det A • det B. (10.5)
Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если
А-1• A = A • А-1 = Еп , (10.6)
где А-1 и А- матрицы порядка n. Из определения ясно, что матрицы А-1 и А взаимно обратны: матрица А является обратной к матрице А-1.
Всякая
невырожденная матрица имеет
обратную.
Свойства обратной матрицы:
-
det А-1=
; -
(АВ)-1= В-1 А-1;
-
(А-1)/=(А/)-1.
Свойство 1 вытекает из формул (10.5) и (10.6):
1=det Еn= det (А•А-1)= det A• det A-1.
Свойство 2 вытекает из равенства (10.6):
Еn=
Е
=(А•А-1)/=
(А-1)/
• А/,
т.е. по определению (А/)-1= (А-1)/.
Нахождение обратной матрицы.
-
Если матрица А=(аij)
,
порядка n
невырождена, det
A≠0, то
обратная к ней матрица А-1
имеет вид:
А-1=
, (10.7)
Где Аij- алгебраическое дополнение элемента аij матрицы А, ij=1, …, n. Алгебраические дополнения элементов матрицы определяется так же, как и алгебраические дополнения элементов определителя.
Пример 10.2. Найти обратную матрицу А-1, если
А=
.
Решение.
Так как
=
=-3-6-4-(-2-6-6)=1,
то матрица А
имеет обратную. Найдем алгебраические
дополнения к элементам матрицы А.
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
Тогда
.
Проверка: 
-
Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований (методом Гаусса).
К элементарным преобразованиям матрицы относятся:
-
перестановка местами двух строк матрицы;
-
умножение всех элементов какой-либо строки матрицы на число, отличное от нуля;
-
прибавление к элементам одной строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.
Матрицы А и В называются эквивалентными, А~В, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.
Припишем к невырожденной матрице А порядка п единичную матрицу Еn, получим матрицу (А|Еn) размера n×2n. С помощью элементарных преобразований строк приведем эту матрицу к виду (En|A-1), т.е.
(А|Еn)~(En|A-1).
Пример
10.3. Найти А-1
с помощью элементарных преобразований,
если А=
.
Решение. Обозначим через ci i-ю строку матрицы А. Тогда, применяя элементарные преобразования, получим:
с2+2с1 с3-2с1 с3-с2 с1-с2 с1-с3
~
~
~
~
=(E3|A-1)
Итак,
А-1=
.