Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы

E²=E₀²+(pc)². (1.47)

2. Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид X=A+Bt+Ct³, где A=2м, B=-2м/с, C=0,5м/с³. Найти координату X , скорость v и ускорение a точки в момент времени t=3c. Найти средние значения скорости v_ср и ускорение a_ср в промежутке времени от t₁=2c до t₂=3с.

Решение. Координату X найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов A, B, C и времени

X = 2-2•3 + 0,5•3³ = 9,5 м.

Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени

.

В момент t=3с скорость

v = -2+ 3•0,5•3² = 11,5 м/с.

Мгновенное ускорение равно первой производной от скорости или второй производной от пути по времени

.

В момент времени t=3с

а = 6•0,5•3 = 9 м/с².

Средняя скорость определяется отношением

,

где x=x₂-x₁ – путь, пройденный в интервале t=t₂-t₁ т.е.

Среднее ускорение определяется формулой

.

Здесь v₂ = 11,5 м/с, t₂-t₁ = 1 c

v₁ = B + 3Ct₁²= -2 + 3 • 0,5 • 4 = 4 м/с,

т.е. .

Пример 2. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м согласно уравнению S = A + Bt² + Ct³, где A = 4 м/с, B = 2 м/с², C = 1 м/с³. Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки в момент времени t = = 2 с.

Решение. Тангенциальное ускорение определяется формулой , где , следовательно, a_= 2B + 6Ct, или в момент времени t = 2 с a_= 2•2 + 6•1•2 = 16 м/с². Нормальное ускорение определяется выражением , где в момент времени t = 2 с скорость v = 2•2•2+ + 3•1•4 = 20 м/с. Тогда нормальное ускорение

.

Полное ускорение или .

Пример 3. Тело брошено под углом = 30⁰ к горизонту со скоростью v₀ = 30 м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела, дальность и время его полета. Сопротивлением воздуха пренебречь (рис. 1).

Рис. 1.

Разложим начальную скорость v₀ на две составляющие – горизонтальную v_0x = v₀cos и вертикальную v_0y = v₀sin. В силу принципа независимости движений подъем тела определяется величиной вертикальной составляющей скорости, дальность полета – её горизонтальной составляющей. Время подъема тела t_под найдем из условия v_y = v_oy-gt_под = 0, так как вертикальная составляющая скорости тела в верхней точке полета равна нулю, следовательно:

,

или , откуда время полета t_пол = 2t_под = 3,06 с.

Высота подъема определяется по формуле

.

Подставляя в эту формулу выражение для времени подъема, получаем

,

т.е.

.

Дальность полета тела найдем из условия, что горизонтальная скорость полета не изменяется, а полное время полета равно удвоенному времени подъема,

т.е. ,

откуда

.

Пример 4. Два шара массами 2,5 и 1,5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями 6 и 2 м/с. Определить: скорости шаров после удара; кинетические энергии шаров до и после удара; долю кинетической энергии шаров, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим.

Дано: m₁ = 2,5 кг; m₂ = 1,5 кг; v₁ = 6 м/с; v₂ = 2 м/с.

Найти: U; T₁; T₂; k.

Решение. 1. Неупругие шары после удара не восстанавливают своей формы. Значит, не возникают силы, отталкивающие шары друг от друга, и шары после удара движутся совместно с одной и той же скоростью U. Эту скорость можно определить по закону сохранения импульса или с учетом направления движения шаров , откуда

,

.

2. Кинетические энергии шаров до и после удара определим по формулам

; .

Расчет, произведенный по этим формулам, дает

T₁=48 Дж; T₂=18 Дж.

3. Сравнение кинетических энергий шаров до и после удара показывает, что в результате неупругого удара шаров произошло уменьшение их энергии, за счет чего увеличилась внутренняя энергия. Долю кинетической энергии, пошедшей на увеличение внутренней энергии, определим из соотношения

.

Пример 5. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой 20 г поднялась на высоту 5 м. Определить жесткость пружины пистолета, если она была сжата на 10 см. Массой пружины пренебречь.

Дано: m = 20 г = 2·10^-2 кг; h = 5 м; S = 0,1 м.

Найти: k.

Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии. При зарядке пистолета пружина сжимается и совершается работа A₁, в результате чего пружина приобретает потенциальную энергию П₁. При выстреле потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию пули, а затем при подъеме её на высоту h превращается в потенциальную энергию П₂ пули.

Тогда на основе закона сохранения энергии можно записать

А₁=П₂ (1)

Выразим работу А₁. Сила F₁, сжимая пружину, является переменной: в каждый момент она по направлению противоположна силе упругости F и численно ей равна. Сила упругости, возникающая в пружине при её деформации, определяется по закону Гука F=-kх, где х – абсолютная деформация пружины.

Работа переменной силы вычисляется как сумма элементарных работ. Элементарная работа при сжатии пружины на dx выразится формулой

dA₁=F₁dx или dA₁=kxdx.

Тогда

(2)

Потенциальная энергия пули на высоте h определяется по формуле

П₂=mgh. (3)

Подставив в (1) выражение A₁ из (2) и П₂ из (3), найдем

,

откуда

, (4)

.

Проверяем единицу измерения полученной величины

.

Пример 6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением S = 2t² + 4t + 1 (м). Определить работу силы за 10 с с начала её действия и зависимость кинетической энергии от времени.

Дано: m=1 кг; S = 2t² + 4t + 1 (м).

Найти: A; T = f(t).

Решение. Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл

(1)

Сила действующая на тело, по второму закону Ньютона

F=ma или . (2)

Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим находим:

(3)

м/с². (4)

Тогда

F=4m. (5)

Из выражения (3)

dS=(4t+4)dt. (6)