6. Примеры решения задач

Пример 1. В сосуде объемом 2 см³ находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27 ⁰С. Определить давление и молярную массу смеси газов.

Дано: V = 2 м³; m₁ = 4 кг; m₂ = 2 кг; ₁ = 410^-3 кг/моль; ₂ = 2х

х10^-3 кг/моль; Т = 300 К.

Найти: P, .

Решение. По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме парциальных давлений газов, входящих в эту смесь: Р=Р₁+Р₂.

Парциальное давление р1 и р2 выразим из уравнения состояния

; ;

; ;

Давление смеси

.

Молярная масса смеси

,

где ₁ и ₂ – число молей гелия и водорода.

Так как и , для молярной массы смеси

.

Подставляя численные значения, получим

.

Ответ: Р = 2493 кПа;  = 310^-3 кг/моль.

Пример 2. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 до 2 л. На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось а) изобарно; б) адиабатно?

Дано: V₁=1 л; V₂=2 л; Р=0,810⁵ Па; =4010^-3 кг/моль; i=3.

Найти: U.

Решение. а) Изобарный процесс. Изменение внутренней энергии при любом процессе определяется выражением

.

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для начального и конечного состояний газа:

;

.

Вычитая из второго выражения первое, получим:

.

Подставляя это выражение в формулу для U, получим

.

Произведем вычисления:

.

б) Адиабатный процесс. При адиабатном процессе теплообмен отсутствует, т.е. Q = 0 и работа совершается за счет внутренней энергии

А=-U .

Формула работы при адиабатном процессе имеет вид:

,

где . При i = 3  = 1,67.

Так как , изменение внутренней энергии

.

Подставляя численные значения, получим:

.

Знак минус означает что внутренняя энергия газа убывает.

Ответ: U_из = 121 Дж, U_ад = -44,6 Дж.

Пример 3. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя Т₁ = 500 К. Получая от нагревателя за цикл Q₁ = = 1 кДж тепла, машина совершает работу А = 350 Дж. Найти КПД цикла, температуру охладителя и количество тепла, отдаваемое охладителю.

Дано: Т₁ = 500 К, А = 350 Дж, Q₁ = 1 кДж.

Найти: , Т₂, Q₂.

Решение. КПД цикла . Температуру охладителя Т₂ найдем из выражения КПД цикла Карно

,

отсюда .

Количество тепла, отданное охладителю, Q₂=Q₁ - A .

Подставляя численные значения, найдем искомые величины:

.

Т₂ = 500(1 - 0,35) = 325 К;

Q₂ = (10³ - 350) Дж = 650 Дж.

Ответ:  =35 %, Т₂ = 325 К, Q₂ = 650 Дж.

Пример 4. Найти изменение энтропии при переходе 6 г водорода от объема 20 л под давлением 150 кПа к объему 60 л под давлением 100 кПа.

Дано:  = 210^-3 кг/моль, m = 60 г, Р₁ = 150 кПа, V₁ = 20 л, Р₂ = 100 кПа, V₂ = 60 л, i = 5.

Найти: S.

Решение. Запишем выражение для изменения энтропии S:

. (1)

Выразим Q из первого начала термодинамики:

. (2)

Температуру Т выразим из уравнения Менделеева-Клапейрона.

, . (3)

Отсюда

. (4)

Подставим выражения (2), (3), (4) в выражение (1):

. (5)

Поскольку , изменение энтропии

. (6)

Подставляя численные значения, получим:

.

Ответ: S = 71 Дж/К.