Вариант 31

1. Вал вращается со скоростью, соответствующей частоте 40 об/с. После выключения двигателя он, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 120 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения двигателя до остановки вала?

2. К ободу однородного диска радиусом 0,2 м приложена касательная сила 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения 4,9 Н.м. Найти массу диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением 100 рад/с².

3. Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси с частотой 14 об/мин. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до 25 об/мин. Масса человека 70 кг. Определить массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

4. Оценить массу Солнца, зная что средний радиус орбиты Земли 149·10⁶ км.

5. Какую продольную скорость надо сообщить стержню, чтобы его длина стала равной половине длины, которую он имеет в состоянии покоя?

Вариант 32

1. Диск радиусом 0,6 м вращается согласно уравнению  = 1 + 2t + 4t³. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорения точки в момент времени 2 с.

2. Через блок , имеющий форму колеса, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массами 100 и 300 г. Массу колеса 200 г считать равномерно распределенной по ободу, массой спиц пренебречь. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, и силы натяжения по обе стороны блока.

3. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии 0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч? Суммарный момент инерции человека и скамьи 6 кг.м².

4. Найти вес тела m = 1 кг, находящегося между Землей и Луной на расстоянии r = 10⁸ м от центра Земли.

5. Время жизни покоящегося пи-мезона равно 1,8·10^-8 с. Чему равно время жизни пи-мезона в системе отсчета, где он движется со скоростью 0,8с.

Вариант 33

1. Тело, вращающееся с угловой скоростью 20 рад/с, остановилось через 5 с. Найти угловое ускорение тела и число оборотов, сделанное им до остановки.

2. Сплошной цилиндр скатывается с наклонной плоскости высотой 15 см. Определить скорость поступательного движения цилиндра в конце наклонной плоскости.

3. Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и отскакивает от нее. Скорость шара до удара о стенку 10 см/с, после удара 8 см/с. Найти количество теплоты, выделившееся при ударе шара о стенку.

3. Найти период обращения спутника вокруг Земли, если он движется с первой космической скоростью.

5. В системе К некоторое событие произошло в точке с координатами (1,00;1,00;1,00) в момент времени t = 1,00 c. Определить координаты и время этого события в системе K’, движущейся относительно К в направлении совпадающий осей x и x’ со скоростью V₀ = 0,8c.

5. Молекулярная физика и термодинамика Основные формулы

Количество вещества в молях:

, (5.1)

где N – число молекул; N_A – число молекул, содержащихся в 1 моле вещества (число Авагадро), N_A = 6,02310²³ моль^-1,  – масса 1 моля.

Концентрация молекул:

, (5.2)

где N – число молекул, содержащихся в данной системе;  – плотность вещества; V – объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

Уравнение Менделеева-Клапейрона (уравнение состояния идеального газа):

, (5.3)

где R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/мольК, m – масса газа.

Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева-Клапейрона для изопроцессов:

Закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: T=const, m=const)

PV=const , (5.4)

или для двух состояний газа

P₁V₁=P₂V₂ ; (5.5)

Закон Шарля (изохорный процесс: V=const, m=const)

, (5.6)

или для двух состояний

; (5.7)

Закон Гей-Люссака (изобарный процесс: P=const, m=const)

, (5.8)

или для двух состояний

; (5.9)

Объединенный газовый закон (m=const)

или , (5.10)

где P₁, V₁, T₁ – давление, объем и температура газа в начальном состоянии; P₂, V₂, T₂ – те же величины в конечном состоянии.

Закон Дальтона для смеси газов: давление смеси газов равно сумме парциальных давлений P₁, P₂, P₃, … газов, входящих в состав смеси:

P=P₁ +P₂ +P₃+…+P_n . (5.11)

Парциальным называется давление, которое оказывал бы каждый газ, если бы он один занимал весь объем.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов:

, (5.12)

где m – масса одной молекулы; – квадрат средней квадратичной скорости; <_n> – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы:

. (5.13)

Средняя полная кинетическая энергия молекулы:

, (5.14)

где i – число степеней свободы молекулы; k – постоянная Больцмана, k = = 1,3810^-23 Дж/К; .

Зависимость давления от концентрации молекул и температуры:

P=nkT . (5.15)

Скорость молекул:

– средняя квадратичная; (5.16)

– средняя арифметическая; (5.17)

– наиболее вероятная, (5.18)

где m – масса одной молекулы.

Распределение молекул идеального газа по потенциальным энергиям во внешнем потенциальном поле (распределение Больцмана):

, (5.19)

где n₀ – концентрация молекул в том месте, где их потенциальная энергия равна нулю; n – концентрация молекул в том месте, где потенциальная энергия молекулы равна П.

В поле сил земного тяготения П = mgh и распределение Больцмана представляет собой распределение по высоте над поверхностью Земли:

. (5.20)

Барометрическая формула:

(5.21)

где P₀ – давление газа на высоте h = 0; Р – давление газа на высоте h.

Среднее число столкновений молекулы газа за одну секунду

, (5.22)

где d – эффективный диаметр молекулы.

Средняя длина свободного пробега молекул газа:

. (5.23)

Уравнение диффузии определяет массу, перенесенную за время t через площадку S:

, (5.24)

где – градиент плотность в направлении, перпендикулярному площадке; D – коэффициент диффузии

. (5.25)

Уравнение внутреннего трения выражает силу внутреннего трения F, обусловленную переносом молекулами импульса направленного движения через площадку S:

, (5.26)

где – градиент скорости течения газа в направлении, перпендикулярном направлению движения;  – коэффициент внутреннего трения; , где  – плотность газа.

Уравнение теплопроводности выражает количество теплоты Q, перенесенное за время t через площадку S:

. (5.27)

Здесь – градиент температуры в направлении, перпендикулярном площадке S;  – коэффициент теплопроводности

, (5.28)

где c_v – удельная теплоемкость при постоянном объеме.

Внутренняя энергия идеального газа:

, (5.29)

где m – масса газа; i – число степеней свободы молекулы.

Первое начало термодинамики – закон сохранения энергии в применении к тепловым процессам:

Q=U+A , (5.30)

где Q – теплота, сообщенная системе (газу); А – работа, совершаемая системой против внешних сил; U – изменение внутренней энергии системы.

Работа расширения газа:

- в общем случае; (5.31)

- при изобарном процессе; (5.32)

- при изотермическом процессе; (5.33)

или (5.34)

при адиабатном процессе, где - показатель адиабаты.

Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме:

, (5.35)

при постоянном давлении:

. (5.36)

Уравнение Майера:

. (5.37)

Связь между молярной С и удельной с теплоемкостями:

С=с . (5.38)

Уравнения адиабатического (Q=0) процесса:

, (5.39)

, , (5.40)

Термический КПД цикла:

(5.41)

где Q₁ – количество тепла, полученное от теплоотдатчика; Q₂ – количество тепла, переданное рабочим телом теплоприемнику.

Термический КПД цикла Карно:

(5.42)

где Т₁ – температура теплоотдатчика; Т₂ – температура теплоприемника.

Изменение энтропии при переходе системы из состояния 1 в состояние 2:

. (5.43)