1.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса

1.11.1. Формула полной вероятности

Пусть событие А может осуществиться с одним и только одним из n несовместных событий , образующих полную группу. Как найти вероятность события А и какие данные для этого нужны?

Появление события А возможно в следующих случаях: произошло событие и при этом появилось событие А или произошло событие и при этом появилось событие А или и т.д., что символически означает:

.

Так как события несовместны и , то

или по теореме умножения вероятностей

.

Полученное равенство называется формулой полной вероятности. Кратко ее можно записать так:

. (1.8)

Пример 1.14.

Прибор может работать в трех режимах: 1) нормальном, 2) форсированном, 3) недогруженном. Нормальный режим наблюдается в 60 % случаев, форсированный – в 30 % и недогруженный в 10 %. Надежность прибора для нормального режима 0,8, для форсированного – 0,5, для недогруженного – 0,9. Найти полную надежность прибора.

Решение

Гипотезы: Н₁  – нормальный режим, Н₂ – форсированный, Н₃ – недогруженный, А – безотказная работа прибора (надежность).

По формуле (1.8) находим

Р(А) = 0,6 0,8 + 0,3 0,5 + 0,1 0,9 = 0,72.

Это означает, что в течение рабочего дня (месяца, года) прибор работает 0,72 части всего времени.

Пример 1.15.

П

Рис. 1.8.

редставим себе странника, который выходит из пункта О и на разветвлении дорог выбирает наугад один из возможных путей. Схема дорог изображена на рис. 1.8. Какова вероятность того, что путник, двигаясь описанным образом, попадет в пункт А?

Решение

Обозначим прибытие путника в пункт той же буквой, что и сам пункт. Легко видеть, что P(B₁)= P(B₂)= P(B₃)= P(B₄)=1/4, так как равновозможен выбор любого из путей, выходящих из пункта О. Путник попадет в пункт А, если он выберет дорогу в пункт B₁ и оттуда дорогу в пункт А, или он выберет дорогу в B₂ и оттуда в А или дорогу в B₃ и оттуда в А. Символически это можно записать так:

А=B₁ А + B₂ А + B₃ А.

Откуда

.

Здесь вероятности определены с учетом числа равновозможных путей из соответствующего города.

1.11.2. Вероятность гипотез. Формула Байеса

Пусть событие А могло наступить только при осуществлении одного из несовместных событий , образующих полную группу. В этих условиях вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности (1.8). События естественно назвать «гипотезами», поскольку можно лишь предполагать, какое именно из них произойдет и при этом появится событие А. Вероятности гипотез до опыта (так называемые “априорные вероятности”) заданы и равны:

; .

Проведен опыт, в результате которого событие А произошло. Спрашивается, как нужно пересмотреть вероятности гипотез с учетом этого факта? Другими словами, найти “апостериорные” вероятности гипотез .Определим, например, . По теореме умножения

.

Отбросив левую часть и разделив обе части равенства на Р(А), получим

.

Пользуясь формулой полной вероятности (1.7) для А, получим

. (1.9)

Аналогично выводятся формулы для остальных .

Формула (1.9) называется формулой Байеса (Бейеса). Она позволяет пересчитывать вероятности гипотез в свете новой информации, состоящей в том, что произошло событие А. Причем, эксперимент можно повторить еще раз, используя вероятности в качестве априорных, и на основе его результатов снова переоценить вероятности. Эту процедуру можно повторять пока вероятность какой-либо из гипотез не станет близкой к единице, тогда эту гипотезу можно считать практически достоверной.

Пример 1.16.

Исследуются причины авиационной катастрофы, о которых можно сделать четыре гипотезы Согласно статистике

; .

Осмотр места катастрофы выявляет, что в ее ходе произошло событие А (например, воспламенение горючего). Условные вероятности события А при выдвинутых гипотезах, согласно той же статистике, равны:

Найти апостериорные вероятности гипотез.

Решение

По формуле (1.9) имеем:

;

При анализе полученных результатов видим, что первая гипотеза наиболее вероятна. Такими гипотезами могут быть, например, теракт, ошибка пилота, отказ двигателя, столкновение с птицей (попадание ее в турбину).

Некогда формулы Байеса представлялись едва ли не общей схемой научного исследования. В настоящее время они заслуживают упоминания, так как сам принцип переоценки априорных вероятностей на основе опытных данных используется в таких областях науки, как управление случайными процессами, теория статистического оценивания и т.д.