6.4. Зависимые и независимые случайные величины
В предыдущем пункте было показано на примере дискретных случайных величин, как, зная закон распределения системы (Х,Y) ,найти законы для отдельных величин Х и Y. Естественно, возникает вопрос – можно ли, зная законы для отдельных Х и Y, входящих в систему, получить закон для системы.
Оказывается, в общем случае этого сделать нельзя: знание законов распределения для Х и Y не дает возможности найти закон распределения системы. Это можно сделать только в одном частном случае: когда Х и Y, образующие систему, независимы.
Случайные величины X и Y, образующие систему, называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение приняла другая случайная величина. Иными словами, зная результат наблюдения над одной случайной величиной, ничего нельзя сказать дополнительно о другой случайной величине.
Системы независимых случайных величин обладают важным свойством: случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда интегральная (дифференциальная) функция распределения системы (X,Y) равна произведению интегральных (дифференциальных) функций распределения случайных величин Х и Y, составляющих систему, т.е.
и
,
где
и
–
интегральная и дифференциальная
функции распределения случайной величины
Х, а
и
–
соответствующие функции случайной
величины Y.
6.5. Операции над случайными величинами
Поставим такую задачу: зная законы распределения отдельных случайных величин Х и Y, найти закон распределения системы (Х,Y) этих случайных величин. Примерами таких совокупностей случайных величин являются X+Y, X-Y, ХY, X , kX (k=const) и.т.д.
Как отмечено выше, это можно сделать, если случайные величины Х и Y, образующие систему, независимы.
Рассмотрим X и Y – две независимые дискретные случайные величины с законами распределения соответственно:
X |
|
|
… |
|
… |
|
|
Y |
|
|
… |
|
… |
|
. |
P |
|
|
… |
|
… |
|
|
P |
|
|
… |
|
… |
|
Тогда система (X, Y) этих случайных величин принимает свои значения с вероятностями (с учетом независимости X и Y):
.
Таким образом,
вероятность
того, что Х
примет значение
,
а Y –
значение
,
равна произведению соответствующих
вероятностей:
Сумма случайных величин
X и Y –
это новая случайная величина X + Y,
которая принимает все значения вида
с вероятностями
.
Аналогично определяются разность и произведение случайных величин.
Разность Х – Y
(произведение XY)
случайных величин X
и Y –- новая
случайная величина, которая принимает
все значения вида:
и
с такими же вероятностями
,
с какими случайная величина X +
Y принимает соответствующие
значения.
Произведение kX случайной величины Х на постоянную величину k – новая случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и Х, принимает значения, равные произведениям значений Х на k.
Х±У |
xi ± yj |
|
XY |
xi · yj |
Р |
|
, |
P |
|
Квадрат случайной величины Х,
т.е.
–
новая случайная величина, которая
принимает свои значения с теми же
вероятностями, что и Х.
Заметим, что случайные величины Х
+ Х и 2Х имеют разные законы. Это
же относится к случайным величинам
и
.
Пример 6.4.
Два стрелка независимо друг от друга
делают по два одиночных (независимых)
выстрела каждый по своей мишени.
Вероятность попадания при одном выстреле
для первого стрелка равна 0,7; для второго –
Случайная величина X
– число попаданий в мишень первого
стрелка, Y –
число попаданий второго стрелка.
Составить законы (ряды) распределения:
а) отдельных случайных величин Х и Y;
б) случайных величин Х + Y и XY,
в) найти соответствующие математические
ожидания M(X+Y)
и M(XY),
дисперсии D(X+Y),
D(XY),
средние квадратические отклонения
.
Решение
а) Возможные значения случайных величин Х и Y:
.
Соответствующие им вероятности вычисляем, пользуясь правилами сложения и умножения вероятностей.
Ряды распределения случайных величин Х и У имеют вид:
Х |
0 |
1 |
2 |
P |
0,3·0,3=0,09 не попал 2 раза |
0,7·0,3+0,3·0,7=0,42 попал один раз из двух |
0,7·0,7=0,49 попал оба раза |
Контроль:
;
М(Х) =
.
Y |
0 |
1 |
2 |
P |
0,6·0,6=0,36 не попал 2 раза |
0,4·0,6+0,6·0,4=0,48 попал один раз из двух |
0,4·0,4=0,16 попал оба раза |
Контроль:
.
Таким образом, получены законы распределения Х и Y:
X |
0 |
1 |
2 |
|
Y |
0 |
1 |
2 |
P |
0,09 |
0,42 |
0,49 |
|
P |
0,36 |
0,48 |
0,16 |
б) Найдем все возможные значения
случайных величин X
+ Y и
и вероятности, с которыми они принимают
их. Составим вспомогательную таблицу:
X |
Y |
X+Y |
P |
XY |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0,09 |
0 |
0 |
2 |
2 |
0,09 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0,42 |
0 |
1 |
1 |
2 |
0,42 |
1 |
1 |
2 |
3 |
0,42 |
2 |
2 |
0 |
2 |
0,49 |
0 |
2 |
1 |
3 |
0,49 |
2 |
2 |
2 |
4 |
0,49 |
4 |
Случайная величина Х+Y примет, например, значение 0, если Х примет значение 0 и Y – тоже значение 0. Вероятность такого случая в соответствии с теоремой умножения вероятностей равна произведению вероятностей (см. первую строку таблицы). Аналогично вычисляются вероятности других случаев.
Случайная величина Х+Y принимает 5 различных значений: 0; 1; 2; 3; 4. Значение 1 она принимает два раза – в случае, записанном во второй строке, или в случае, указанном в четвертой строке. Так как эти случаи – события несовместные, то по теореме сложения вероятность того, что Х+Y примет значение 1, равна
P(Х+Y =1) = 0,0432+0,1512=0,1944.
Точно так же подсчитываются вероятности для других повторяющихся значений Х+Y.
В итоге получим закон распределения X + Y (две верхние строки):
X+Y |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
P |
0,0324 |
0,1944 |
0,3924 |
0,3024 |
0,0784 |
|
|
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
. |
Контроль: P = 0,0324 + 0,1944 + 0,3924 + 0,3024 + 0,0784 = 1.
Значения случайной величины находятся аналогично. Вероятности различных случаев вычисляются также с помощью теоремы умножения вероятностей. Случайная величина X Y может принимать четыре различных значения: 0; 1; 2; 4. Значение 0 она принимает в пяти несовместных случаях. Поэтому по теореме сложения вероятностей
P(X·Y = 0) = 0,0324 + 0,0432 + 0,0144 + 0,1512 + 0,1764 = 0,4176.
Следовательно, закон распределения X Y имеет вид:
|
0 |
1 |
2 |
4 |
P |
0,4176 |
0,2016 |
0,3024 |
0,0784 |
Контроль: P = 0,4176 + 0,2016 + 0,3024 + 0,0784 = 1.
в) Математическое ожидание M(X + Y) можно вычислить двумя способами.
Во-первых, непосредственно, пользуясь полученным законом распределения X + Y:
M(X
+ Y) =
.
Во-вторых, используя свойство: M(X + Y)=M(X)+M(Y)=1,4+0,8=2,2.
M(X) =1,4 и M(Y)=0,8 получены в пункте а). Результаты, естественно, совпали.
Аналогично: M(X
Y)=
=1,12.
Тот же результат получим, пользуясь свойством для независимых случайных величин
M(X
Y) = M
( X )
=
1,4
.
Для независимых случайных величин Х
и Y дисперсию суммы
можно найти, пользуясь свойством:
D(X+Y)=D(X)+D(Y),
где D(X)=M(X
-(M(X))
и D(Y)
= M(Y
-
(M(Y))
.
Получим законы распределения для
и
,
используя полученные (см. пример 6.4.,
пункт а) законы для X
и Y:
M(X
)
= 0
2,38;
.
D(X) = 2,38 – (1,4)2 = 0,42;
=
= 0,648.
Аналогично
M(Y ) = 0,48+0,64 = 1,12;
D(Y)
= 1,12 – (0,8)
= 0,48;
=
=
0,693.
Теперь можно найти дисперсию суммы D(X+Y)=D(X)+D(Y)=0,42+0,48=0,9.
Такой же результат получим, пользуясь формулой:
D(X+Y) = M(X+Y)2 – (M(X+Y))2.
Закон для получен (см. пример 6.4., пункт б – две нижние строки).
M(X+Y)
=0
D(X+Y) = 5,74 – (2,2) = 0,9,
=
.
Для определения дисперсии D(X Y) найдем M(X Y) , тогда по формуле
D(X Y) = M(X Y) - (M(X Y)) .
.
M(X Y) = 0,2016 + 1,2096 + 1,2544 = 2,6656;
D(X Y) = 2,6656 – (1,12) = 2,6656 – 1,2544 = 1,4112;
=
=
1,1879.