7.7. Теорема Бернулли
Пусть производится n
независимых опытов, в каждом из которых
вероятность появления события А
равна р.
Частота появления события в этих n
опытах
является случайной величиной с
математическим ожиданием
и дисперсией
(см. подразд. 7.3).
Теорема (Бернулли). При увеличении числа независимых опытов частота события сходится по вероятности к вероятности этого события, т.е. для любого >0
.
Доказательство. Запишем неравенство Чебышева
,
где
случайная величина.
.
Так как p, q,
–
постоянные, то
,
при
.
Поэтому
.
Но вероятность не может превосходить единицу, значит, в этом соотношении неравенство следует заменить знаком равенства, что и приводит к утверждению теоремы.
Теорема Бернулли даёт обоснование статистическому определению вероятности (подразд. 1.5).
7.8. Принцип практической уверенности
В человеческом мировоззрении отсутствует один важный элемент – мы не умеем проводить чёткую грань между тем, что может быть, и тем, чего быть не может. Например, можно ли прожить 500 лет? Нет. Но если можно прожить 150 лет, то почему нельзя прожить на один день больше? А если, можно, то почему нельзя прожить ещё на один день больше? И т.д. Чёткой границы между возможным и невозможным провести нельзя. В подобных ситуациях отчасти помогает понятие практически невозможного события.
Можно привести примеры событий, которые имеют ничтожно малую вероятность.
1. Например, можно научить
обезьяну наугад стучать по клавишам
пишущей машинки. Существует отличная
от нуля вероятность того, что обезьяна
случайно отпечатает текст романа "Война
и мир". Эта вероятность равна
приблизительно
,
где N
– число букв в романе, а 1/50 – вероятность
нажать в нужный момент на нужную клавишу
(всего клавиш около 50).
2. Другой пример. Существует отличная от нуля вероятность при полёте на самолёте попасть в авиационную катастрофу.
3. В примере с возрастом можно считать длительность жизни человека случайной величиной, значения которой больше 200 лет крайне маловероятны.
Во всех приведённых примерах события имеют ничтожно малую вероятность, и возможностью появления таких событий мы и пренебрегаем. Но пренебрегать возможностью появления маловероятных событий можно не вообще, а только в определённых условиях.
Пусть вероятность появления события в одном опыте ничтожно мала и равна р. Тогда вероятность непоявления события равна 1-р=q, причём q<1, так как р всё же отлично от нуля.
так как q<1
и
.
Значит, если опытов производить много,
то рано или поздно происходят даже самые
маловероятные события, и возможностью
появления маловероятных событий в
большой серии опытов пренебрегать
нельзя.
В итоге получаем утверждение: Если вероятность события близка к нулю, то можно быть практически уверенным, что в единичном опыте оно не произойдёт. Событие, имеющее вероятность, близкую к нулю, в единичном опыте можно считать практически невозможным. Насколько малой должна быть вероятность события, чтобы можно было считать это событие практически невозможным, зависит от того, насколько серьёзные последствия нам грозят, если событие, объявленное нами практически невозможным, все-таки произойдёт. То есть этот вопрос решается вне рамок теории вероятностей. Например, вероятность события равна 0,01. Если это вероятность попасть в авиационную катастрофу при полёте на самолёте, то вряд ли стоит пренебрегать такой вероятностью. Если же это вероятность вытащить на экзамене невыученный билет, то такой вероятностью можно пренебречь (на деле пренебрегают и гораздо большими вероятностями).
Обратно. Если вероятность события близка к единице, то можно быть практически уверенным, что в единичном опыте оно произойдёт. Событие, имеющее вероятность, близкую к единице, можно назвать в единичном опыте практически достоверным.
Насколько близкой к единице должна быть вероятность – решается из тех же соображений, что и вопрос о малости вероятности практически невозможного события.
Понятия практически достоверного и практически невозможного событий широко используются в математической статистике при формулировке научно обоснованных выводов, сделанных по результатам наблюдений над случайными явлениями.