1. Случайные события. Вероятность событий

1.1. Элементы комбинаторики

1.1.1 Повторные выборки

Пусть имеется n элементов a₁, a₂, …, a_n, отличающихся друг от друга какими–то признаками, например номерами, названиями, индексами и т.д. Назовем эту совокупность генеральной совокупностью (термин, принятый в математической статистике).

Произвольное упорядоченное множество r элементов a_j1, a_j2, …, a_jr, составленное из элементов генеральной совокупности, называется выборкой объема r.

Можно выделить два способа получения такой выборки – повторный и бесповторный. Выборка называется повторной, если выбор каждый раз осуществляется из всей генеральной совокупности и каждый элемент может быть выбран более одного раза. Например, выбранный элемент отмечается и вновь возвращается в совокупность.

Выборка называется бесповторной, если выбранный элемент из генеральной совокупности удаляется и выборка не содержит повторяющихся элементов.

Возникает вопрос: сколько существует способов для составления выборки объема r из n имеющихся элементов? Решим его отдельно для повторных и бесповторных выборок. Пусть имеется n элементов. Выбираем первый элемент. Его можно выбрать n способами. Для каждого первого способа второй элемент тоже можно будет выбрать n способами. Тогда два элемента выбираем n способами.

Для иллюстрации подсчета рассмотрим табл. 1.1, в которой в первой строке и левом столбце выписаны все способы получения первого и второго элементов соответственно.

Таблица 1.1

Число способов выбора двух элементов

	a1	a2	  	an
a1	a1a1	a1a2	  	a1an
a2	a2a1	a2a2	  	a2an
  	  	  	  	  
an	ana1	ana2	  	anan

При этом каждая клетка заполненной квадратной таблицы дает выборку, состоящую из двух элементов. Число различных выборок равно числу элементов этой таблицы, т.е. n . Рассуждая подобным же образом получим, что выборки, состоящие из трех элементов, можно составить n различными способами. Для удобства такого подсчета можно составить таблицу. В первой строке выписаны все n способов получения двух элементов, а по вертикали слева перечислены n различных способов добавления третьего элемента в выборку. Заполнив эту таблицу, получим, что общее число различных выборок по три элемента равно n .

Используя данный подход, можно сделать вывод о числе выборок объема r, т.е. состоящих из r элементов. Если один элемент можно выбрать n способами, два – n способами, три – n способами и т. д., то r элементов можно выбрать n способами. Схематически этот подсчет можно представить в виде табл. 1.2.

Таблица 1.2

Число выборок из трех элементов

	a1a1	a1a2	  	anan
a1	a1a1a1	a1a2a1	  	anana1
a2	a1a1a2	a1a2a2	  	anana2
  	  	  	  	  
an	a1a1an	a1a2an	  	ananan

При этом способы один от другого отличаются либо самими элементами, либо, если все элементы одинаковы, порядком их расположения. Такая выборка может содержать повторяющиеся элементы.

Можно доказать общий комбинаторный принцип.

Пусть некоторый выбор можно сделать t способами, для каждого первого некоторый второй выбор s способами, для каждой пары первых двух третий выбор k способами и т.д., тогда общее число способов для осуществления последовательности этих выборов равно произведению tsk   .

Пример 1.1.

В спортивную команду института от группы, в которой 10 девушек и 15 юношей, необходимо выделить двух представителей  одну девушку и одного юношу. Сколькими различными способами можно это сделать?

Решение

Мы находимся в условиях, в которых можно использовать общий комбинаторный принцип. Выбрать в команду девушку можно 10 различными способами, юношу  15 способами. Тогда общее число возможных исходов равно их произведению, то есть 150.