6. Системы случайных величин

Со случайным опытом может быть связано две или более случайных величин.

Пример 6.1.

Точка падения метеорита характеризуется системой двух случайных величин: Х – географическая широта места падения и Y – долгота этого места.

Пример 6.2.

Успеваемость студента, получающего диплом, характеризуется системой n случайных величин  – оценками, проставленными в дипломе.

Пример 6.3.

Состояние любого технического устройства в данный момент характеризуется системой (набором) нескольких случайных величин (X, Y, …, Z ).

В случаях, подобных перечисленным, мы имеем дело с системой (совокупностью) случайных величин или случайным вектором.

Рассмотрим систему из двух случайных величин X и Y , которую удобно интерпретировать как случайную точку (X, Y) на плоскости с координатами X и Y.

6.1. Функция распределения

Интегральной функцией распределения системы двух случайных величин (X, Y) называется вероятность совместного выполнения неравенств X<x, Y<y, т.е.

F(x,y)=P(X<x,Y<y).

Геометрически это означает вероятность того, что случайная точка (X, Y) попадет в бесконечный квадрат на плоскости с вершиной в точке (x, y).

Интегральная функция распределения существует для систем и непрерывных, и дискретных величин. Если же случайные величины, образующие систему, непрерывны, то закон распределения можно создать с помощью дифференциальной функции распределения (функция плотности):

.

6.2. Плотность распределения

Функция называется плотностью распределения системы двух непрерывных случайных величин (Х, Y). Плотность обладает следующими свойствами:

1)

2). .

Геометрически  – это некоторая поверхность, такая, что объем между этой поверхностью и координатной плоскостью Оху равен единице. Если система двух случайных величин (X, Y) задана функцией плотности , то вероятность попадания случайной точки в некоторую область плоскости равна объему, который опирается на эту область и ограничен сверху поверхностью .

6.3. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин

Рассмотрим случай двух дискретных случайных величин (X, Y). Считаем, что множество значений каждой из них конечно: Обозначим  – вероятность того, что Х примет значение , а Y – значение . Законом распределения системы (X, Y) называется совокупность всех возможных значений, т.е. пар чисел и соответствующих им вероятностей . Обычно закон распределения задается в виде прямоугольной таблицы с двойным входом:

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…

Сумма всех вероятностей , стоящих в матрице, равна единице как сумма вероятностей полной группы несовместных событий:

.

Зная закон распределения системы (Х, Y), можно найти законы (ряды) распределения отдельных величин Х и Y, входящих в систему. Обозначим События несовместны, поэтому вероятность того, что Х примет значение по теореме сложения вероятностей: , т.е. равна сумме вероятностей «столбца ».

В общем случае и, аналогично,

.

То есть, для того чтобы найти вероятность , надо просуммировать вероятности «столбца ». Аналогично, сложив вероятности «строки », получим вероятность . После этого можно составлять законы распределения для Х и Y.