1.2. Основные понятия теории вероятностей

Теорией вероятностей называется математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Как наука математическая, она при описании окружающего мира пользуется набором строго определенных понятий, символов и операций над этими символами. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Событие определяется тем, произошло или не произошло некоторое явление. Примеры событий: солнечное затмение; опоздание на лекцию; выпадение осадков и т. п. Приведенное определение события для математического анализа непригодно. Абстрактное понятие события имеет отношение лишь к тому, произошло оно или нет, а не к его природе. То есть мы отвлекаемся от всех несущественных для математического анализа свойств события и рассматриваем только его свойство: появляться или не появляться. Именно такие события и будут рассматриваться в данном курсе.

Будем обозначать события заглавными буквами латинского алфавита A, B, C. В окружающем нас мире все явления взаимосвязаны, поэтому естественно рассматривать события не сами по себе, а вместе с комплексом условий, которые его порождают. Это дает возможность ввести первичную классификацию событий:

1. Если при осуществлении комплекса условий (иначе говоря, при проведении опыта) событие А неизбежно происходит, то А называется достоверным событием.

2. Если при осуществлении комплекса условий событие А заведомо произойти не может, то А называется невозможным событием.

3. Если при осуществлении комплекса условий событие может произойти, а может и не произойти, то событие называется случайным.

Например, при температуре +20 и нормальном атмосферном давлении (комплекс условий) событие А – вода находится в жидком состоянии – есть достоверное событие, а событие В – вода в твердом состоянии – является событием невозможным. Случайными событиями, например, будут: результат бросания монеты или игрального кубика; безотказная работа некоторого механизма в течение заданного времени; наследование потомками определенной комбинации генов родителей.

1.3. Алгебра событий

Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из двух событий А и В, называется их суммой и обозначается А+В.

Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, называется их произведением и обозначается АВ.

Событие, состоящее в непоявлении данного события А, называется ему противоположным и обозначается .

Проиллюстрируем введенные понятия. Пусть комплекс условий состоит в том, что внутрь прямоугольника наугад бросается точка (стрельба по плоской мишени), а событиями А и В являются попадания соответственно в большой и малый круг. Тогда события А+В, АВ, состоят в попадании точки внутрь областей, заштрихованных на соответствующих фигурах (рис. 1.2.)

Рис. 1.2

Если при каждом осуществлении комплекса условий оба события А и В или происходят или не происходят, то они называются эквивалентными или равносильными и записывают этот факт: А=В.

Согласно этому определению, все достоверные события равносильны между собой поскольку они рассматриваются лишь с точки зрения их появления или непоявления. Поэтому введем в рассмотрение одно достоверное событие, которое станем обозначать . Из тех же соображений введем в рассмотрение одно невозможное событие и обозначим его Ø.

События А и В называются несовместными, если в одном и том же опыте появление одного события исключает появление другого, то есть АВ=Ø.

Совокупность событий образует полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то при испытании появится только одно из них.

События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является объективно более возможным, чем другое.

Следует отметить, что введенные выше понятия суммы, произведения и противоположного события соответствуют логическим операциям или, и, не (только или не имеет здесь обычного для этого слова оттенка противопоставления).

А + В А·В

А или В А и В не А

Так, например, фразу “событие А произойдет, если не произойдет событие В или произойдет событие С и событие Д ” можно записать так:

А = + СD.