7.9. Правило трёх сигм
Пусть X имеет закон распределения .
Оценим вероятность того, что эта случайная величина отклонится от своего математического ожидания не больше чем на три средних квадратических отклонения. По формуле (6.3) определяем:
,
,
т.е. отклонение больше 3 имеют вероятность 0,003. Во многих приложениях такой вероятностью можно пренебречь и утверждать, что при единичном наблюдении нормально распределённой случайной величины, интервалом практически возможных значений является интервал (m-3, m+3). Это утверждение называют "правилом трёх сигм".
Пример 7.6.
Есть предположение, что только половина жителей города поддерживает некоторое мероприятие. Опросили наугад 900 человек. 499 из них высказались «за». Согласуется ли наше предположение с опытными данными?
Решение
Согласно предположению, каждый житель
ответит «да» с вероятностью р=1/2,
п=900, пр=450 – это математическое
ожидание m в схеме
независимых испытаний,
=
,
3
.
Пусть Х – число поддерживающих
мероприятие жителей. При большом числе
испытаний биномиальный закон сколь
угодно близок к нормальному закону и
можно воспользоваться «правилом трех
сигм»:
(m-3
=(450-45;450+45)=(405;495) –
это интервал практически возможных
значений случайной величины Х, а
499 в него не входит, т.е. наше предположение
не согласуется с опытными данными.
Контрольные вопросы
Дайте определение повторных и бесповторных выборок. Рассмотрите различные виды выборок.
Дайте классическое определение вероятности. Докажите свойства вероятностей.
Дайте определение суммы событий. Докажите теорему сложения.
Дайте определение произведения событий. Докажите теоремы умножения.
Докажите формулу Бернулли. Укажите, когда применяются формулы Лапласа и Пуассона.
Что называют простейшим потоком? Перечислите свойства простейшего потока.
Докажите формулу полной вероятности и формулу Байеса.
Дайте определение закона распределения для дискретной случайной величины. Приведите примеры законов.
Дайте определение математического ожидания и перечислите его свойства.
Дайте определение дисперсии и перечислите ее свойства.
Дайте определение среднего квадратического отклонения и укажите его преимущества по сравнению с дисперсией.
Дайте определение функции распределения (интегральная функция) и докажите ее свойства.
Дайте определение плотности распределения (дифференциальная функция) и докажите ее свойства.
Напишите плотности (дифференциальные функции) нормального и показательного распределений. Какими параметрами определяются эти распределения?
Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, если она распределена: а) нормально, б) по показательному закону.
Дайте определение интегральной и дифференциальной функций двумерной непрерывной случайной величины.
Как, зная законы распределения двух дискретных случайных величин, получить законы для суммы, произведения, найти соответствующие математические ожидания и дисперсии?
Дайте определение ковариации и коэффициента корреляции величин. Перечислите свойства коэффициента.
Сформулируйте центральную предельную теорему Ляпунова. Укажите примеры ее применения.
В чем состоит сущность закона больших чисел. Напишите неравенство Чебышева и поясните его смысл.
Дайте определение сходимости по вероятности. Сформулируйте теорему Чебышева и укажите, как с ее помощью найти математическое ожидание опытным путем.
Сформулируйте принцип практической уверенности и правило «трех сигм».