9. Системы координат: а) прямоугольная; б) цилиндрическая; в) сферическая.

В сферической системе координат точка задается длиной радиус-вектора R, долготой Ψ и полярным углом θ.

Переход из одной системы координат в другую осуществляется путем неслож­ного пересчета.

Таким: образом, в определенной систе­ме координат контур детали и траекто­рия перемещения центра инструмента от­носительно этого контура могут быть представлены геометрическими элемен­тами с опорными точками, заданными координатами или в пространстве, или на плоскости (рис, 10).

На траектории движения центра ин­струмента могут быть назначены также технологические опорные, точки, т. е. точки, где изменяются какие-то техно­логические параметры, например подача инструмента и др., точки временного останова с указанием времени останова и т. д., (см. рис. 8).

10. Схема определения координат опорных точек контура детали (а) и траектория движения центра инструмента (б).

При обработке детали инструмент может перемещаться или в одной плос­кости —7 плоская обработка, при которой используются две управляемые коорди­наты, или иметь сложное перемещение в пространстве — объемная обработка. Однако чаще всего объемные поверх­ности деталей обрабатывают строчками, каждая из которых является плоской кривой. Опорные точки на траектории движе­ния инструмента позволяют представить эту траекторию как определенную по­следовательности точек, проходимых центром инструмента (см. рис. 8) при обработке детали. Каждое из положений (каждая опорная точка) в выбранной системе координат может быть опреде­лено числами, например координатами. Сочетание таких чисел, определяющих ряд последовательных положений инст­румента, или, иначе, ряд опорных точек траектории, и будет представлять основ­ную часть программы работы станка, выраженную в числовом виде (см. рис. 10).

При обработке детали при движении по элементам траекторий (прямым, ду­гам, кривым) в промежутках между опорными точками инструмент в опре­деленных случаях может перемещаться по траектории, несколько отличающейся от заданной. Однако можно задать такое число опорных точек, при котором откло­нения фактической траектории от требуе­мой будут меньше некоторой наперед заданной величины и деталь будет обра­ботана в пределах заданной точности.

Таким образом, начальный этап пред­ставления траектории обработки детали связан прежде всего с получением коор­динат опорных точек траектории. Эти координаты могут быть выражены абсо­лютными размерами, т. е, для каждой опорной точки заданными относительно нулевой точки станка или детали, или задаваться в виде прираще­ний в направлении движения инструмен­та от одной опорной точки К другой.

В большинстве систем ЧПУ работой станка управляют дискретно, с помощью импульсов. Цена одного импульса (наименьшее программируемое перемеще­ние) , или дискретность системы, отража­ет разрешающую способность комплекса, включающего систему ЧПУ, механизм подач и датчики обратной связи. Исходя из дискретности системы приращения ко­ординат между опорными точками тра­ектории можно выразить не в мм, а коли­чеством импульсов. Например, если дискретность по оси Х составляет 0,01 мм/имп., а по оси Y — 0,02 мм/нмп., то значения Dх и Dу, равные, например, соответственно 12,85 мм и 8,6 мм, в им­пульсах будут выражены следующим образом: Dх== 1285 имп., Dу=*430 имп.

Задание приращений по двум осям координат, однако, еще не определит заданного прямолинейного движения инструмента между точками. Даже при постоянной скорости подачи по осям вследствие неравенства координат заданной точки (Δх₁≠Δу₁) время движения по оси Х не будет равно времени движе­ния по оси Y и заданная траектория будет искаженной (на рис. 11, а показано штрихами). Как уже говорилось, приблизить фактическую траекторию к заданной можно введением дополнитель­ных (промежуточных) опорных, точек (точки 2—5 на рис. 11, б) и заданием соответствующей последовательности пе­ремещений инструмента между этими точками, например: (Δх, Δу); (2Δх);

11. Линейные перемещения центра инструмента.

(2Δх, 2Δу); (Δх); (Δх, Δу), т. е. траекторию по сравнению с ранее определенной (см. рис. 11, в) приходится разбивать на более мелкие участки. Величина δ оп­ределит ошибку в отработке.

При программировании введение до­полнительных опорных точек приводит к резкому увеличению расчетов и объема программы. Поэтому в практике деталь­ное представление заданной траектории движения инструмента между двумя опорными точками (с выдачей команд на соответствующие перемещения по осям) осуществляется с помощью спе­циального вычислительного устройства элемента УЧПУ — интерполятора. Интерполятор непрерывно, т. е. в каждый данный момент, в процессе перемещения (в соответствии с заданными прираще­ниями) инструмента от одной опорной точки к другой поддерживает функцио­нальную связь между координатами опорных точек, т. е. обеспечивает отра­ботку траектории в зависимости от вида функции. Если функция выражает пря­мую линию, то отрабатываемая траекто­рия будет линейной, а интерполятор называется линейным. В процессе ра­боты такой интерполятор при исходных заданных приращениях Δх₁ и Δy₁ (см. рис. 11, а) непрерывно должен под­держивать такое соотношение, скоростей движения инструмента по осям, при кото­ром инструмент будет перемещаться по заданной линейной траектории.

Обеспечить точно функциональную связь между движениями по осям коор­динат в каждой данной точке траекто­рий очень сложно. В большинстве существующих станков перемещение ин­струмента по заданной траектории осуществляется приближенно, путем вклю­чения подачи попеременно то вдоль од­ной, то вдоль другой оси. При этом интерполятор системы управления непрерывно оценивает отклонения от заданной траек­тории и стремится свести эти отклоне­ния к минимуму. Скачки ступенчатой траектории при формировании заданной незначительны. Они равны или кратны цене одного управляющего импульса, поступающего из интерполятора или им­пульса, формируемого датчиком обрат­ной связи. Например, прямая наклонная линия может формироваться поперемен­ной подачей на приводы импульсов в такой последовательности: один импульс по оси У и два импульса по оси Х (рнс. 11, в). Поскольку в современных стай­ках наиболее часто цена импульса прини­мается равной 0,001 мм, то перемещение между двумя соседними опорными точка­ми практически можно рассматривать как плавное. Интерполяция может быть также круговой, с помощью полиномов второй и высших степеней и др.

Р абота интерполятора как вычисли­тельной машины основана на решении определенных задач. Известно несколько методов интерполяции, среди которых наиболее распространен метод оценоч­ной функций, основанный на решении алгебраических уравнений.

При линейной интерполяции отрезок прямой рассматривается в системе коор­динат, начало которой совмещено с на­чальной точкой Т_о интерполируемого от­резка Т_оТ_k (рис. 12, а). Оценочную функцию для любой из промежуточных точек Т_i, траектории вдоль прямой можно выразить формулой

F_ij=y_ix_k-x_iy_k

где х_k, у_k – координаты конечной точки T_k интерполируемого отрезка; координа­ты начальной точки при интерполяции отрезка прямой равны нулю; x_i, у_i — текущие координаты точки T_i траектории, определяемые числом элементарных дискретных перемещений i вдоль оси Х и j вдоль оси У.

Логическая сущность оценочной функции состоит в том, что для всех точек заданной прямой справедливо (рнс. 12, а) соотношение у­_k/х_k=у_i/x_i, или

y_kx_i=y_ix_k

12. Схемы к определению оценочной функции.

Разность произведений определит зону, где расположена точка. Естественно, что при F_ij=0 точка находится на прямой. Если F_ij > 0, то точка находится выше прямой при F_ij<0 точка находится (рис. 12, б) ниже прямой. Таким обра­зом, можно считать, что интерполируе­мая прямая делит плоскость на две части: область F> 0, где оценочная функция после подстановки в нее коор­динат точек этой области принимает положительные значения, и область F<0, где значения оценочной функции отрицательны. Интерполятор определяет последовательность элементарных ди­скретных перемещений в зависимости от квадранта, в котором расположен ин­терполируемый отрезок. Для случая, когда отрезок находится в первом квад­ранте системы координат, направление элементарного дискретного перемещения определяется в зависимости от располо­жения предыдущей точки; если она нахо­дится в области F≥0, то дискретное перемещение осуществляется вдоль оси X, если в области F<0, то вдоль оси Y. И так до тех пор, пока текущая точка траектории не совпадет с точкой конца интерполируемого отрезка.

В соответствии с принятым характе­ром перемещений интерполятор выдает попеременно импульсы управления то по одной, то по другой координате. Напри­мер (рис. 13, а), если из начальной точ­ки Т₀ согласно поданному импульсу управления центр инструмента переместился по траектории Т₀ — 1, то интерполятор, определив для координат точки 1 значение функция (F_ij=y_ix_k-x_iy_k<0), следующие импульсы будет подавать в цепь управления приводом подач станка по оси Y. После подачи каждого импуль­са интерполятор определяет значение оценочной функции. Как только после подачи очередного импульса оценочная функция изменится, т.е. станет либо равна нулю, либо больше нуля (в точке 2, рис. 13, а), интерполя­тор опять начнет выдавать импульсы для управления приводом перемещения по оси X, прекратив подачу импульсов в привод управления перемещением по оси Y (рис. 13, б). В точке 3 значение F_ij=y_ix_k-x_iy_k станет меньше нуля и интерполятор обеспечит движение к теч­ке 4, .выдавая импульсы в привод пере­мещения по Y. И так далее для всего отрезка от точки Т₀ до точки Т_k. Следует иметь в виду, что количество импульсов на отрезке перемещения от точки к точке зависит от дискретности системы УЧПУ.

13. Линейная интерполяция по методу оценочной функции: а – схема траектории; б – схема подачи импульсов по осям X и Y.

При круговой интерполяции начало системы координат совмещается с цент­ром окружности радиуса R (рис. 14, а). Оценочная функция для любой из про­межуточных точек траектории вдоль ок­ружности выражается формулой F_ij­=х_i²+у_i²-R². Формула получена из со­отношения R²=x²+y², справедливого для точек, лежащих на дуге. Окружность делит плоскость на две части: область F>0, расположенную вне окружности, и область F<0, находя­щуюся внутри нее. В зависимости от направления движения вдоль окруж­ности (по или против часовой стрелки) и квадранта расположения интерполи­руемой дуги выбирается правило опре­деления последовательности элементар­ных дискретных перемещений. Для иллю­стрируемого случая проверяется положе­ние текущей точки: если F≥0, дискрет­ное перемещение осуществляется в от­рицательном направлении оси X, а если F<0 — в положительном направлении оси Y. Интерполяция начинается в точ­ке То и продолжается до тех пор, пока не будет достигнута точка T_k дуги окруж­ности или граница квадранта. Выполняя работу, интерполятор соответственно на­правляет импульсы в привод подач то по X, то по Y (рис. 14, б).

Помимо расчета необходимого коли­чества импульсов для подачи в систему привода той или иной оси интерполятор обеспечивает и выдачу этого количества для управления.

Аппроксимация дуг окружностей. На станках с ЧПУ, снабженных лишь линейными интерполяторами, програм­мирование обработки деталей затрудне­но, если траектории выражены дугами окружностей и кривыми другого порядка. Дуги окружностей для ввода информа­ции в УЧПУ с линейным интерполятором аппроксимируют ломаными линиями с вве­дением по дуге определенного числа опорных точек. Величина элементарных участков между точка­ми — участков аппроксимации — зави­сит от угловою шага, централь­ного угла дуги, которую заменяют хор­дой, секущей или касательной.

У гловой шаг, а следовательно, и числе опорных точек на дуге зависят при заданном радиусе от точности аппроксимации, т.е. сте­пени приближения ломаной линии к дуге окружности. Естественно, что чем меньше значение принятого углового шага, тем ближе обработанный, контур будет по, форме приближаться к круговому (за­данному). Но при программировании следует учитывать, что увеличение точности приводит к увеличению расчетных работ и объема программы из-за увеличения числа опорных точек.

В современных условиях большинство станков с ЧПУ оснащены УЧПУ с линей­но-круговыми интерполяторами, поэтому заниматься вопросами аппроксимации дуг окружностей технологу-программи­сту приходится сравнительно редко. Эти задачи встречаются в настоящее время лишь при расчетах по аппроксимации кривых второго порядка [28].

14. Круговая интерполяция: а – схема траектории; б – схема подачи импульсов по осям X и Y.

При программировании обработки кроме определения величины перемеще­ния центра инструмента по траектории необходимо указать скорости перемеще­ния инструмента между отдельными опорными точками, целый ряд вспомо­гательных технологических команд и др. Все это оформляется в виде расчетно-технологической карты (РТК) на обра­ботку данной детали и карты кодирова­ния программы.

В общем случае для составления УП необходимо иметь операционный эскиз детали, чертеж заготовки и РТК, допол­ненную таблицей координат опорных то­чек или расстояний между точками (при­ращений).