X* •расположение.

О

лимонад. Однако иногда при выборе переменных, отражающих доход, а также

вкусы и предпочтения, исследователю приходится использовать творческий

подход. Из-за того что выявить средний доход студентов, посещающих опреде-

ленный колледж (и их семей), довольно сложно, мы использовали в качестве

заменяющей переменной плату за обучение. Для определения того, влияет ли

количество заменителей пиццы на ее спрос, была введена двоичная (фиктив-

ная) переменная. Также предполагалось, что в колледжах, которые находятся

в черте города, выбор мест питания больше и это может неблагоприятно по-

влиять на спрос на пиццу.

Используя эти данные, мы записываем уравнение регрессии виде следую-

щей суммы:

оп

>

где Y—величина спроса на пиццу (среднее количество кусков пиццы в месяц

на душу); а - постоянное значение пересечения У; Xt —средняя цена куска

пиццы (центы); Х2 —средняя плата за обучение в год ($ тыс.); Х3 —средняя

цена 12-унцевого стакана лимонада (центы); Хк —расположение студенческо-

го городка (1 —если он расположен в черте города, 0 —если где-то в другом

месте); bv bv b3, bA —коэффициенты переменной X, показывающие влияние

переменных на спрос на пиццу.

Y, или величина спроса, называется зависимой переменной. Переменная X

называется независимой, или объясняющей, переменной. Важно отметить еди-

ницы измерения каждой переменной. Исследователи могут выбирать, как запи-

сывать данные для использования в регрессионном анализе. Здесь мы измеряем

цены на пиццу и прохладительные напитки в центах, а плату за обучение — в тысячах долларов. Также заметьте, что единица измерения переменной, ко-

торая отвечает за расположение, отличается от всех остальных. Она принимает

значение 1, если студенческий городок расположен в черте города, и равняется

О, если студенческий городок расположен где-то в другом месте. Такая пере-

менная называется двоичной, или фиктивной, переменной. Учитывая конкрет-

ную схему уравнения регрессии и систему измерений переменных, мы можем

вычислить значения коэффициента Ь независимой переменной, а также значе-

ние пересечения а, используя один из многих пакетов программ, содержащих

регрессионный анализ.

ВЫЧИСЛЕНИЕ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ

В число пакетов программ, используемых экономистами для проведения рег-

рессионного анализа спроса на товар или услугу, входят SPSS, SAS и Micro

TSP. Для оценки спроса на пиццу мы использовали регрессионную функцию,

содержащуюся в программе Excel. Хотя она содержит только базовые элемен-

ты регрессии (например, она не осуществляет тест Дарбина—Уотсона), мы счи-

таем, что эта программа идеально подходит для многих типов регрессионного

анализа, которые проводятся в ходе бизнес-исследований. Более того, Excel

более доступен по сравнению с другими пакетами статистических программам

как в университетах и колледжах, так и в коммерческих учреждениях.

Используя функцию регрессии программы Excel, мы получили следующие

значения нашего уравнения регрессии спроса на пиццу:

Y- 26,67 - 0.088Х, + 0,138Х2 - 0,076Х3 - 0,544Х4

(0,018) (0,087) (0,020) (0,884)

й2 = 0,717 Стандартные ошибки К приблизительно = 1,64

Я2 = 0,67 F=15,8

(Стандартные ошибки коэффициентов приведены в круглых скобках.)

Прежде чем интерпретировать эти результаты, глядя на знаки коэффици-

ентов регрессии, нам следует подумать, в каком направлении будет влиять из-

менение объясняющих переменных на спрос на пиццу. Формально мы можем

сформулировать следующую гипотезу об ожидаемой связи между каждч"

объясняющей переменной и спросом на пиццу:

Гипотеза 1: цена на пиццу (А",) является обратным определяющим факто-

ром спроса на пиццу (т. е. ожидается, что знак коэффициента будет отрица-

тельным).

Гипотеза 2: если считать стоимость обучения заменой для дохода, пицца

может быть нормальным товаром или худшим товаром. Поэтому мы выдвига-

ем гипотезу о том, что плата за обучение (Х2) является определяющим факто-

ром спроса на пиццу, однако не можем сказать заранее, является ли она пря-

мым или обратным определяющим фактором (т. е. знак коэффициента может

быть как отрицательным, так и положительным).

Гипотеза 3: цена прохладительного напитка (Х3) является обратным опре-

деляющим фактором спроса на пиццу (т. е. ожидается, что знак коэффициента

будет отрицательным).

Гипотеза 4: Ожидается, что расположение колледжа в черте города (Х4) яв-

ляется обратным определяющим фактором спроса на пиццу.

Теперь, глядя на результаты регрессии, мы наблюдаем, что коэффициент X,

отрицателен; именно этого мы и ожидали в соответствии с законом спроса. При

изменении цены на пиццу (X,) величина спроса на нее будет меняться в проти-

воположном направлении. Об этом нам говорит знак минус. Положительный

знак коэффициента платы за обучение говорит нам о том, что стоимость обуче-

ния и величина спроса на пиццу имеют прямую связь. Более высокая стоимость

обучения связана с более высоким спросом на пиццу, и наоборот. Таким обра-

зом, пицца оказывается нормальным товаром. Отрицательный знак цен на про-

хладительные напитки подтверждает тот факт, что пицца и лимонад являются

дополняющими товарами. Когда цена на прохладительные напитки повышает-

ся, студенты колледжа начинают покупать меньше пиццы. При снижении цены

на прохладительные напитки спрос на пиццу будет расти. И последнее: отрица-

тельный знак бинарной переменной, отвечающей за расположение студенче-

ского городка, говорит нам о том, что студенты, учащиеся в колледжах в черте

города, в месяц будут покупать примерно на половину куска пиццы меньше

(0,544), чем студенты из пригородов и окрестностей.

Интерпретация значений полученных коэффициентов регрессии немного

сложнее. Каждый коэффициент говорит нам о том, насколько изменится вели-

чина спроса на пиццу по отношению к единичному изменению каждой объяс-

няющей переменной. Например, то, что 6, равняется -0,088, указывает, что еди-

ничное изменение в цене приведет к изменению величины спроса на 0,088

в противоположном направлении. Цена, как вы помните, измерялась в центах.

Следовательно, согласно полученным нами коэффициентам регрессии, увели-

чение цены на 100 центов (или $1,00), приведет к снижению величины спроса

на пиццу на 8,8 (100 х 0,088). Увеличение платы за обучение на одну единицу

(в данном случае $1 тыс.) приводит к увеличению спроса на пиццу на 0,138.

Являются ли эти изменения, вызванные изменением цены на лимонад и изме-

нением стоимости обучения, значимыми или незначительными?

Исследователи, которые постоянно занимаются оценкой спроса на конк-

ретный товар или услугу, точно знают, являются лн значения полученных ко-

эффициентов высокими или низкими по сравнению с их прошлыми результа-

тами. Однако если исследований для сравнения не существует, то исследователи

могут по крайней мере использовать эластичность спроса, чтобы сравнить вли-

яние объясняющих переменных на величину спроса.

Вспомнив об эластичности (говорили о ней в главе 4), вы должны увидеть,

что результаты регрессионного анализа идеальны для оценки точечной элас-

тичности. Напомним, что формула для расчета точечной эластичности выгля-

дит следующим образом:

* dX Q

где Q —величина спроса, аX —любая переменная, которая влияет на Q(напри-

мер, цена или доход). В случае с полученной нами оценкой спроса на пиццу да-

вайте предположим, что объясняющие переменные имеют следующие значения:

О

XО

•цена на пиццу (X,) = IQO (т. е. $1,00);

•плата за обучение в колледже в год (X,) = 14 (т. е. S14 тыс.);

•цена на прохладительные напитки (X.J = 110 (т. е. $1.10);

•расположение студенческого городка (Xt) = в черте города (т. е. А' = П

Подставляя эти значения в уравнение, получаем;

Y = 26,67 - 0,088 (100) + 0,138 (14) - 0,076 (НО) - 0,544 (1) = 10,898,

или 11 (округление до целого).

Для того чтобы вычислить значения точечной эластичности для каждой

переменной, учитывая предшествующие значения, мы просто подставляем со-

ответствующие значения в формулу точечной эластичности. Частная произ-

водная от Fno изменениям в каждой переменной (т. е. 5Y/5X) равняется коэф-

фициенту каждой переменной.

Ценовая эластичность:

Эластичность по стоимости обучения:

Перекрестная эластичность по цене:

-0,088 х 100/10,898 = -0,807.

0,138 х 14/10,898 = 0,177.

-0,076 х 110/10,898 =0,767.

При таких значениях мы можем сказать, что спрос на пиццу является до-

статочно неэластичным и что существует определенная степень перекрестной

ценовой эластичности между прохладительными напитками и пиццей. Судя

по достаточно низкому коэффициенту эластичности, равному 0,177, плата за

обучение не оказывает особого влияния на спрос на пиццу.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ

РЕГРЕССИИ

Наши результаты регрессии основываются на выборке колледжей по всей стра-

не. Насколько мы уверены в том, что эти результаты реально отражают поведе-

ние всего массива студентов колледжей? Основной тест статистической значи-

мости каждого полученного коэффициента регрессии называется £-тест, Этот

тест проводится посредством вычисления f-значения или i-статистики для каж-

дого полученного коэффициента. Это осуществляется путем деления коэффи-

циента на его стандартную ошибку.1 То есть

ь

стандартная ошибка b

В соответствии с общепринятой практикой представления результатов рег-

рессии стандартные ошибки в регрессии спроса на пиццу представлены в круг-

лых скобках под коэффициентами. Для интерпретации значений t использует-

ся i-таблнца. Обычно в экономических исследованиях уровень достоверности

выбирается равным 0,05. Это означает, что вы можете быть уверены на 95%

втом, что результаты, полученные на основе выборки, отражают весь массив.

Также нам необходимо знать число степеней свободы в уравнении. Степень

свободы определяется как n-k- 1, где п —это размер выборки, k —количество

независимых переменных, 1 представляет собой константу, или пересечение.

Таким образом, в нашем примере с пиццей степень свободы равняется 30 - 4 - 1 -

= 25.

Обратимся к t-таблице. Мы видим, что критическое t-значение равняется