§9 Последовательность испытаний (схема Бернулли ).

Под последовательностью испытаний будем понимать повторение одного и того же испытания.

Под схемой Бернулли понимается последовательность испытаний, удовлетворяющая следующим условиям:

1. в каждом испытании всего два исхода, которые условно называют “успех”, и “неуспех”;

2. испытания независимы, т.е. вероятность успеха в каждом из них не зависит от исходов других испытаний;

3. вероятность успеха в каждом испытании одна и та же – обозначим её p, следовательно вероятность “неуспеха” равна 1 – p, эта вероятность обозначается q .

Пример 1. Группа студентов сдает экзамен: успех – сдал, неуспех – не сдал.

Пример 2. Выпущена партия изделий: успех – не брак, неуспех – брак.

В дальнейшем независимость будем определять из физических соображений, она соответветствует отсутствию физического влияния друг на друга. В примерах 1,2 такую независимость можно предположить.

Теорема. Пусть проводится n испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли. Пусть вероятность успеха в одном испытании p, вероятность неуспеха

q = 1 – p. Обозначим P_n (k) – вероятность того, что в n испытаниях наступило k успехов, тогда

 формула Бернулли 9.1

Доказательство:

Обозначим успех А, неуспех Ā. У нас k успехов в n испытаниях. Т.е. это может быть, к примеру, такое событие: ААА…АĀ…Ā, где событие А повторяется к раз, а событие Ā – повторяется (n–k) раз. Вероятность такого события

P(ААА…АĀ…Ā) ={т.к. события независимы}=

Р(А)…Р(А)…Р(Ā)…Р(Ā) =р^k × q^n-k.

Проблема в том, что таких вариантов, где событие А повторяется к раз, а событие Ā – повторяется (n–k) раз, много. Чтобы вычислить количество таких вариантов, можно представить ситуацию так: есть n номеров мест, из которых надо вытащить k номеров, на которые поставим событие А. На оставшиеся (n-k) мест автоматически поставим событие Ā . Всего таких событий будет . Все эти сложные события несовместны, следовательно, вероятность их суммы равна сумме вероятностей и каждое слагаемое равно р^k × q^n-k. В итоге получаем:

Р_n(k)= р^k × q^n-k + р^k × q^n-k... р^k × q^n-k + р^k × q^n-k =

Пример 3. В комнате общежития живут пять студентов. В этом институте студент с вероятностью 0.8 получает стипендию. Найти вероятность того, что 4 студента получат стипендию в следующем семестре.

Решение: Пусть в данном случае успех – получение стипендии, т.е. вероятность успеха р = 0.8. Тогда вероятность неуспеха q =1 – p = 0.2. Найти надо

Следствие 1.  9.2

Доказательство:

Т.к по формуле 9.1 здесь все возможные исходы при n испытаниях, то:

Р_n(0) + P_n(1) + …..+ P_n(n) = 1

Следствие 2. Обозначим через P_n(k₁, k₂) вероятность того, что при n испытаниях успехов будет от k₁ до k₂ включительно. Тогда

 9.3

Доказательство:

Обозначим через событие А_i ={ произошло i успехов при n испытаниях}. Тогда

Р{k1 ≤ успехов ≤ k2} = P(Ak1 + Ak1+1 + Ak1+2 +…….+Ak2) =

{cобытия несовместны}

= P(Ak1 ) + P(Ak1+1) + P(Ak1+2) +……+ P(Ak2) = P_n(k₁) + P_n(k₁+1) +…….P_n(k₂)

Если записать вероятности этих событий по формуле 9.1, получим требуемую формулу.

Пример 4. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0.1. Некто купил 5 билетов. Найти вероятность того, что выиграет хотя бы два билета.

Решение: очевидно, что выполняются условия схемы Бернулли, n =5; p = 0,1;

Найти требуется P₅(2,5).

т.к. вычислять довольно много, рассмотрим другой способ решения – через отрицание нужного события; искомая вероятность равна

= 1 – Р₅ (0,1) = 

Часто необходимо вычислить вероятность хотя бы одного успеха.

Следствие 3. Вероятность хотя бы одного успеха в n испытаниях равна

1 – qⁿ . 9.4

Доказательство :

Р { хотя бы один успех } = Р_n (1, n) = 1 – P_n (0) = 1 – qⁿ

Пример 6. Известно, что у трети людей первая группа крови. Найти вероятность того, что из пяти доноров хотя бы у одного будет кровь первой группы.

Решение:

Р5 (1,5) = 1 – Р5 (0) = 1 – q⁵ = 1 – ( 2/3 )⁵ = 1 – 32/ 243  0,87.

Пример 7. В условиях предыдущей задачи сколько надо взять доноров, чтобы с вероятностью не меньше 0,9 среди них оказался хотя бы один с первой группой крови?

Р (1,n) = 1 – ( 2/3 )ⁿ ≥ 0,9  ( ⅔ )ⁿ ≤ 0,1

логарифмируем, чтобы найти n:

n ∙ ln ⅔ ≤ ln 0,1,

т.к. ln ⅔ < 0   знак неравенства меняется и

На примере 7 мы рассмотрели задачу, которую в общем виде можно сформулировать следующим образом: часто возникает вопрос о величине серии испытаний (n), такой, чтобы вероятность хотя бы одного успеха была не меньше некоторго числа γ ( 0 < γ < 1). Если провести действия, подобные решению из примера 7, получим формулу:

 9.5