§ 2 Классическое определение вероятности. Основные свойства вероятности.

Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей, и для него существует несколько определений. Приведем определение, которое называется классическим.

Определение 1.Пусть дано испытание с пространством элементарных исходов Ω. И пусть все исходы равновозможны ( или равновероятны). Тогда вероятностьлюбого события А (обозначается Р(А))

,где | Х | - количество элементов во множестве Х.

Замечания:

1. Из определения следует, что в Ω должно быть конечное число элементов.

2. Равновероятность определяется из физических соображений.

Пример 1. Даны 3 карточки с буквами : К, О, Т. Карточки перемешивают и, не глядя, раскладываются в ряд. Найти вероятность того, что получится осмысленное слово.

Выпишем пространство элементарных исходов и событие А (осмысленные слова):

Ω = {КТО, КОТ, ОТК, ОКТ, ТКО, ТОК}

А = { осмысленные слова} = {КОТ, КТО, ТОК, ОТК}

Очевидно, что все исходы равновероятны, поэтому

Р (А) = |А| /|Ω| = 4/6 = 2/3.

Пример 2. К экзамену надо знать 30 вопросов. Студент выучил первые 20 из них. Какова вероятность того, что он вытащит билет с выученным вопросом (в билете 1 вопрос).

Решение:

|Ω| = 30, | А| = 20 – кол-во исходов, благоприятных событию А.

Р(А) = |А |/ |Ω| = 20/30 = 2/3.

Основные свойства вероятности.

Теорема 1. Классическое определение вероятности обладает следующими свойствами:

1) Р(А) >= 0;

2) Р(Ω) = 1;

3) Пусть А и В – два несовместных события. Тогда Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Доказательство:

1. Очевидно, т.к по определению 1 и числитель, и знаменатель положительные.

2. Р(Ω) = 

3. Р(А + В) = 

{А и В несовместны => у них нет общих элементов} =

§ 3 Основные формулы комбинаторики.

Для определения количества элементов во множествах применяют формулы, известные вам из курса дискретной математики. Напомним основные из них.

3.1 Принцип (правило) умножения.

Пусть дано К испытаний и пусть в первом испытании n₁ исходов, во втором – n₂ исходов,и т.д., в к- ом – исходов n_k. Рассматривают последовательность испытаний как одно большое испытание. Тогда общее число исходов этого испытания N задается формулой:

Пример 1. В доме 4 подъезда, в каждом 5 этажей по 4 квартиры на этаже. Допустим, что некто знает подъезд, но не знает все остальное. Тогда выбор квартиры можно представить как два испытания :

1) выбрать этаж (5 вариантов)

2) выбрать квартиру на этаже (4 варианта)

Всего возможных вариантов 

А вот если некто не помнит и подъезд, то здесь 3 этапа:

1) подъезд (4 варианта)

2) этаж (5 вариантов)

3) квартира на этаже (4 варианта)

Тогда всего вариантов: N = 4 · 5 · 4 = 80.

Вероятность того, что он найдет квартиру с первого раза = 1 / 80.

Пример 2. Студент выучил 20 вопросов из 30. В билете 2 вопроса. Найти вероятность того, что попадутся 2 выученных вопроса.

Решение:

Найдем количество элементов в Ω, используя правило умножения. Число испытаний равно 2 (выбрать первый вопрос, выбрать второй вопрос). Исходов в 1-ом испытании n₁ = 30, во втором n₂ = 29 ( т.к. одинаковых нет), т.е. количество исходов |Ω| = 30 ·29 = 870.

Найдём число элементов во множестве А – т.е. студент вытащил 2 известных вопроса: здесь также 2 испытания, в n₁ = 20, n₂ =19.

=>  .

=> Р(А) = |А| / |Ω| = 380/870 = 4/9.