§7 Формула полной вероятности.

Теорема 1. Пусть событие А может произойти в результате появления одного из событий Н₁, Н₂,…Н_к. Пусть события Н_i образуют полную группу попарно несовместных событий. Тогда справедлива формула:

(7.1)   – формула полной вероятности.

Доказательство:

Т.к. события образуют полную группу попарно несовместных событий, то

Н₁ + Н₂ + ...+Н_к = Ω и Н_i ∙H_j = Ø при i≠j.

Р(А) = Р(Ω× А) = Р(Н₁ + Н₂ + …+Н_к) × А) = Р(∑Н_i ×А) =

{ Н_i несовместны, значит и Н_i ×А несовместны }

= ∑Р(Н_i ×А) = {(5.3)}=∑ Р(Н_i) ∙ Р(А/ Н_i)

Пример 1. На заводе 3 цеха выпускают телевизоры. Первый и второй цеха выпускают равное количество продукции, третий – в двое больше, чем первый. В первом цехе 3% брака, во втром - 4%, в третьем – 2%. Найти вероятность того, что наудачу взятый телевизор будет небракованный.

Введём события: Н1 – телевизор из первого цеха, Н2 – из второго, Н3 – из третьего. Вероятности этих событий:

Р(Н1) = ¼ , Р(Н2) = ¼ , Р(Н3) = ½ .

Событие А – телевизор не бракованный. Тогда по условию задачи

Р(А/Н1) = 0.97, Р(А/Н2) = 0.96, Р(А/Н3) = 0.98.

По формуле полной вероятности

Р(А) = Р(Н1)× Р(А/Н1) + Р(Н2)× Р(А/Н2) + Р(Н3)× Р(А/Н3) =

¼ ∙ 0.97 + ¼ ∙ 0.96 + ½ ∙ 0.98 = 0.9728.

§8 Формула Байеса.

Теорема. Пусть выполнены все условия теоремы о полной вероятности. Тогда справедлива формула:

(8.1)  –формула Байеса.

Доказательство:

P(A)∙P(H _j / A) = P( А∙H _j ) = P( H _j ∙ A ) = P( H _j )× P( A/ H _j ).

Тогда

Пример 1. В цехе два слесаря. У первого брак 1%, а у второго 0,1%. Они выпускают одинаковое число деталей. В ОТК при проверке обнаружили бракованную деталь. Найти вероятность того, что её сделал первый слесарь.

Введём сдедующие обозначения для событий: Н₁ – деталь сделал первый слесарь, Н₂ – деталь сделал второй слесарь. Р( Н₁ = Р( Н₂ ) = ½.

Событие А – деталь бракованная. Тогда Р(А / Н₁) = 0,01; Р(А / Н₂) = 0,001.

Найти требуется P(H₁/A).

Пример 2. В столе 6 ящиков. Известно, что с вероятностью 0,9 ключ находится в столе. Некто в поисках ключа просмотрел 5 ящиков и ключ не нашел. Какова вероятность того, что ключ в последнем ящике?

Введем события:

H_i - ключ находится в i – м ящике , i = 1, …6;

Н₇ – ключ вне стола. Вероятности этих событий заданы:

Р(Н7) = 0.1; P(H_i ) = 0,9/6 = 0,3/2 = 0,15 при i = 1,...6.

Событие А – ключа нет в первых пяти ящиках. Тогда

Р(А / Н1) = Р(А / Н2 ) … = Р (А / Н5 ) = 0.

Р(А / Н6) =1; Р(А /Н7 ) = 1.

Найти надо Р(Н6 / А). По формуле Байеса

Задачи для самоконтроля к §7, 8

1. Первая АТС работает 10 часов в сутки, вторая – 14 часов. Вероятность соединения в случае работы первой АТС – 0,8; в случае работы второй – 0,6. Какова вероятность соединения? Соединение произошло, какова вероятность, что оно произошло через вторую АТС?

2. В институт подали документы 6 медалистов, 120 человек со средним баллом выше 4,5(“эксперимент”) и 320 “обычных” абитуриентов. Известно, что из медалистов поступает в институт 90%, из “эксперимента” поступают 60 %, из прочих – 45%. Какова вероятность того, что наугад выбранный абитуриент поступит в институт? Известно, что абитуриент в институт поступил, какова вероятность того, что он из “эксперимента”?