Задачи для самоконтроля к §5

1. Рост юноши в некоторой стране подчиняется нормальному распределению со средним 180 см и стандартным отклонением 10 см. В гвардию берут призывников с ростом не менее 200 см. Какова доля призывников, попадающих в гвардию? Как надо изменить призывную инструкцию, что бы в гвардию призывать 10% новобранцев?

2. Время между приходами кораблей в порт – случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению, причём в среднем оно равно 10 часам. Сегодня в 8.00 пришёл корабль. Какова вероятность того, что до 24.00 больше не будет кораблей?

3. Диаметр вала является случайной величиной, имеющей равномерное распределение на интервале [98, 102] (см). Диаметр отверстия равен 101 см.

Найти мат. ожидание и СКО зазора между валом и отверстием, а также вероятность того, что вал войдёт в отверстие.

§6 Двумерные случайные величины.

Пусть даны случайные величины ξ₁, ξ₂. Можно считать, что они образуют векторную случайную величину ξ=(ξ₁, ξ₂). Например, ξ₁ – рост, ξ₂– вес человека, тогда ξ=(ξ₁, ξ₂) двумерная случайная величина, которую можно назвать “антропологические данные”.

Определение 1. Пусть дана двумерная с.в. ξ=(ξ₁, ξ₂). Ее функция распределения определяется равенством:

F_ξ(х₁,х₂) = P { ξ₁< х₁, ξ₂< х₂}

6.1 Дискретная двумерная случайная величина.

Определение 2. Пусть (ξ, h ) – двумерная дискретная с.в. Законом распределения такой с.в. называют перечень всевозможных значений (х_i, y_j) и вероятностей P _ij = P {ξ = x_i, η = y_j}, i = 1,…n, j=1,..k.

ξ h	У1	У2	……..	УК
Х1	P11	P12	………	P1k
Х2	P21	P22	………	P2k
…..	……	……….	……….	…….
Хn	Pn1	Pn2	……….	Pnk

Т.к. события {ξ = x_i, η = y_j}, i = 1,…n, j=1,..k, образуют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей в этой таблице равна 1.

Зная закон распределения двумерной с.в., можно найти закон распределения каждой из составляющих. Так, ряд распределения для ξ:

ξ	x1	x2	…	xn
р	p11+ p12 +..+ p1k	p21+ p22+..+ p2k	...	pn1+ pn2+…pnk

Ряд распределения для h :

h	y1	y2	…	yk
р	p11+ p21+..+ pn1	p12+ p22+..+ pn2	...	p1k+ p2k+…pnk

Пример 1. Задан закон распределения двумерной дискретной с.в. Найти законы распределения ξ и η.

ξ h	-1	2
0	0.1	0.06
2.5	0.3	0.18
3	0.2	0.16

Решение:

Построим ряд распределения для ξ:

x	0	2.5	3
Р	0.1+0.06	0.3+0.18	0.2+0.16

Т.е.

x	0	2.5	3
Р	0.16	0.48	0.36

Построим ряд распределения для η :

h	-1	2
Р	0.1+0.3 +0.2	0.06 +0.18 +0.16

Т.е.

h	-1	2
Р	0.6	0.4