3.2 Перестановки.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения.
Число всевозможных перестановок из n элементов:
Рn = n!
Пример 3. Карточки с буквами К, Т, О. n = 3, всего различных перестановок Р3 = 3 · 2 · 1 = 6.
3.3 Размещения.
Размещениями называют комбинации, составленные из n элементов по m, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений:
Пример 4. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 2 цифры, помнит лишь, что они различны. Найти вероятность того, что он угадает номер с 1-го раза.
Решение:
Обозначим через событие В то, что абонент угадал нужные 2 цифры. Найдем |Ω|. Всего можно набрать комбинаций из 10 цифр по 2 т.е.
.
Они все равновозможны. А благоприятный
исход для события В только один => |B| =
1 => P(B) = 1/90.
В этом примере |Ω| можно было посчитать и по правилу умножения.
3.4 Сочетания.
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются только составом элементов. Число сочетаний:
Пример 5. Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 различных деталей?
3.5 Гипергеометрическое распределение.
Пусть дано N элементов, из которых M элементов обладают некоторым свойством. Пусть случайно выбираются n элементов. Обозначим через
РN, M (n,m) вероятность того, что среди отобранных n предметов m обладают заданным свойством. Тогда
Пример 6. В урне 20 шаров, из них 3 белых. Наугад взяли 5 шаров. Найти вероятность того, что 2 из них – белые.
Применим формулу гипергеометрической вероятности:
N = 20, M = 3, n = 5, m = 2.
§4 Общее определение вероятности.
Классическое определение вероятности предполагает, что число исходов испытания конечно. На практике же часто встречаются испытания, число элементарных исходов которых бесконечно - экран локатора, возраст супругов и т.д. – в таких случаях классическое определение неприменимо.
Теорема 2. Для любых событий А,В и С выполняются следующие соотношения:
(4.1) 0 ≤ Р(А) ≤ 1
(4.2) Р(Ā) = 1 – Р(А)
(4.3) Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
(4.3а) Р(А + В) ≤ Р(А) + Р(В)
(4.4) Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(ВС) – Р(АС) + Р(АВС)
Доказательство:
(4.1) следует из свойства 1 и 2 теоремы 1.
(4.2) 1 = Р(Ω) = Р(А + Ā) ={т.к. это несовместные события}= Р(А) + Р(Ā), т.е Р(А) + Р(Ā) = 1 => Р(Ā) = 1 – Р(А).
(4.3) Введём следующие события C, D и E:
С = АВ
D = A \ B = A \ C
E = B \ A = B \ C
Тогда
P(A + B) = P(D + E + C) = {т.к. события не совместны}=P(D) + P(C) + P(E) =
{ добавим и отнимем P(C) }= P(C) + P(D) +P(E) + P(C) – P(C) =
(P(C) + P(D)) +(P(E) + P(C)) – P(C)=P(A) + P(B) – P( AB).
(4.3а) следует из 4.3, т.к Р(АВ) ≥0.
(4.4) Введем событие D =A + B. Тогда
P(A + B + C) = P(D + C) = P(D) + P( C) – P(DC) = P(A + B) + P( C) – P((A +B)C) = P(A) + P(B) – P(AB) + P( C) – P(AC + BC) = P(A) + P(B)+ P( C) – P(AB) – (P(AC) + P(BC) – P(ABC)) = P(A) + P(B) + P( C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC).
