Содержание

Глава 1. Вероятность событий

§1. Пространство элементарных исходов. Операции над событиями. Отношения между событиями.

В Теории Вероятностей все действия мы будем называть испытаниями или опытами, а результат этих действий – случайными событиями или просто событиями или исходами.

Определение 1:

Событие называется достоверным, если оно происходит при любом испытании. Достоверное событие обозначается символом Ω.

Событие называется невозможным, если оно не происходит при любом испытании. Невозможное событие обозначим символом Ø.

Определение 2:

Пусть дано некоторое испытание или опыт. Пространством элементарных исходов называется максимально возможное множество всех результатов испытаний.

Пространство элементарных исходов обозначается Ω, а его элементы w .

Пример 1. Симметричную монету подбрасывают 1 раз. Исходов (результатов такого опыта) всего два, обозначим их ω₁ и ω₂ :

ω₁ - выпал орел ( герб), ω₂ - выпала решка (цифра)

Тогда пространство элементарных исходов можно записать как Ω={ω1, ω2} или Ω={ Ц, Г}.

Пример 2. Подбрасывают один раз игральную кость ( шестигранный кубик). Обозначим ωi – на кубике выпало i очков. Тогда

Ω={ω1, ω2, ω3, ω4, ω₅, ω6}

Пример 3. Некто решил покупать лотерейные билеты до тех пор, пока не выиграет. Обозначим символом В то, что человек выиграл по билету, Н – не выиграл. Тогда Ω = { В, НВ, ННВ, НННВ, …}. Теоретически, этот ряд продолжается до бесконечности. Т.е. пространство элементарных исходов может быть не только конечным, но и счетным, как в данном случае.

Пример 4. В некотором военном училище проходит учебное бомбометание по цели. Поместим цель в начало координат. Тогда элементарным исходом будет любая точка на плоскости:

ω = (x, y) – координаты попадания бомбы

Ω={(x, y), -∞ < x < +∞ ; -∞ < y < +∞ }

Определение 3: Пусть дано испытание с пространством элементарных исходов Ω. Случайным событием называется любое подмножество Ω.

Пример 5. Подбрасываем один раз игральную кость. Пространство элементарных исходов уже описано в примере 2. Введём следующие события:

А - выпало четное число очков. С помощью введённых обозначений его можно записать как А={ω1, ω4, ω6}.

В - число очков делится на 3. Его можно записать как В={ω3, ω6}.

С – выпало 5 очков. С={ω5}.

Пример 6. Учебное бомбометание из примера 4. Введём событие А – бомба отклонилась от цели не больше, чем на 10 м. Если описать это событие математически, то  . Т.е. это круг диаметром 10 метров с центром в начале координат:

Операции над событиями.

Определение 4. Сумма событий С= А + В происходит тогда, когда происходит либо А, либо В, либо оба вместе.

На языке теории множеств сумма событий соответствует объединению соответствующих множеств.

{С}={А} U {В}

Круг – область А

Треугольник – область В.

С – заштрихованная область.  Пример 7. В случае с игральной костью и событиями из примера 5:

А + В ={ω2, ω3, ω4, ω6}

Определение 5. Произведение событий С = А·В происходит тогда, когда наступают и А, и В. В теории множеств произведению событий соответствует пересечение множеств: {С}= {А} ∩ {В}

Определение 6. Разность событий С = А \ В происходит тогда, когда событие А наступает, а В не наступает.

В примере с игральной костью А \ В ={ω2, ω4}

Определение 7. Пусть дано событие А. Отрицание события А (“не А”)Ā происходит тогда, когда А не происходит. Ā = Ω \ А.

На рисунке множество, соответствующее событию Ā, заштриховано.

 

В примере с игральной костью Ā ={ω1, ω3, ω5}