Задачи для самоконтроля к §2

1. Измерительных комплекс состоит из трёх одинаковых приборов, отказы которых происходят независимо друг от друга. Вероятность отказа прибора в течение суток 0,2. Случайная величина – число отказавших приборов. Построить ряд распределения этой случайной величины, найти функцию распределения, мат. ожидание, дисперсию и вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3,5).

2. В партии из пяти изделий содержатся два бракованных. Для проверки контролёр берёт наугад одно изделие из партии и проверят его качество. Если оно окажется бракованным, дальнейшие проверки прекращаются, а партия задерживается. Если изделие не бракованное, контролёр берёт следующее и т.д. Случайная величина – количество проверенных изделий. Построить ряд распределения, найти функцию распределения, мат. ожидание и дисперсию. Какова вероятность того, что придётся проверять больше двух изделий?

§3 Важнейшие дискретные случайные величины

Распределение Бернулли.

Проводится одно испытание, в котором два исхода: “успех” и “неуспех”.

Вероятность успеха обозначим р, вероятность неуспеха q =1–р.

Пусть С.В. ξ принимает значение 1 (соответствует успеху) и 0( соответствует неуспеху). Ряд распределения для такой с.в.:

ξ	0	1
вероятность	1 - р	р

Найдём мат.ожидание и дисперсию:

Мξ = 0× (1 – р) +1× р = р

Dξ = M(ξ)² – (Мξ)² = р – р² = р(1 – р) = рq.

Биномиальное определение

Проводится n испытаний по схеме Бернулли, p – вероятность успеха в одном испытании, q=1–р. С.в. ξ – число успехов при n испытаниях. Такая с.в. может принимать значения 0,1,2,… n. Параметрами такого распределения являются р и n, где 0 ≤ р ≤ 1, n – целое положительное число. Вероятности для ряда распределения этой с.в. вычисляются как

, k = 0,1,...n

Утверждение. Для с.в., подчиняющейся биномиальному распределению,

Мξ = n ∙ q и Dξ = n× q× p.

Доказательство:

Пусть ξ –число успехов при n испытаниях. Введём случайные величины

ξ_i –результат i-го испытания, т.е ξ_i подчиняется распределению Бернулли.

Тогда ξ = ξ₁ + ξ₂ +…..+ ξ_n

Mξ = Mξ₁ + Mξ₂ +…..+ Mξ_n = p + p + ……+p = np

Dξ = D(ξ₁ + ξ₂ +…..+ ξ_n) = Dξ₁ + Dξ₂ +…..+ Dξ_n = npq

Пример 1. В некотором городе среди жителей 20% близоруких. Сколько в среднем будет близоруких среди двухсот случайно отобранных человек?

Решение: Пусть ξ – количество близоруких среди 200 отобранных человек. Это дискретная с.в., подчиняющаяся биномиальному распределению с параметрами р=0,2 ( “успех” – человек близорукий) и n=200. “В среднем” – значит, надо найти мат. ожидание этой с.в.

М ξ= n × p=200 × 0,2=40. Т.е. в среднем 40 человек из 200 будут близорукими.

Геометрическое распределение

Проводятся испытания по схеме Бернулли до первого успеха. Вероятность успеха в одном испытании р. С.в. ξ – количество испытаний. Такая с.в. может принимать значения 1,2,…∞. Вероятности для ряда распределения

р_k=P{x =k} = p× q^k-1.

Параметром этого распределения является вероятность успеха р, 0 ≤ р ≤ 1.

Для с.в., подчиняющейся геометрическому распределению

Пример 2. Для некоторого “баскетболиста” вероятность попадания в корзину при броске из центра площадки, равна 0,2. Он решил бросать мяч до первого попадания. Сколько в среднем бросков потребуется? Какова вероятность того, что потребуется 3 броска?

Решение:

С.в. ξ – количество бросков до первого попадания – подчиняется геометрическому распределению с параметром р=0,2. Найдём мат. ожидание:

М ξ=1/p=1/0,2=5. т.е. до первого попадания в среднем будет 5 бросков.

Р{потребуется 3 броска}=P{ ξ =k}=0,2× (1– 0,2)^3-1= 0,2× 0,8²= 0,128.