Задачи для самоконтроля к §4

1. Дана плотность распределения случайной величины x . Найти неизвестный параметр с, функцию распределения, мат. ожидание, дисперсию и вероятность Р{x < Mx }.

2. Случайная величина x задана своей функцией распределения. Найти неизвестный параметр с, плотность распределения, мат. ожидание, дисперсию, медиану и вероятность Р{x > 1,5}.

§5 Важнейшие непрерывные случайные величины.

5.1 Равномерное распределение

Случайная величина, подчиняющаяся такому распределению, описывает момент наступления случайного события, время наступления которого в интервале [а, в]. Числа а, в являются параметрами равномерного распределения, –∞ < а < в < ∞.

Плотность равномерно распределённой с.в:

 

Функция распределения:

Графики этих функций:

Найдем М ξ и Dξ для равномерно распределённой с.в.:

Аналогичным образом получается формула для дисперсии:

Пример 1. Известно, что в метро электрички отходят через каждые 5 мин. Некто пришел на перрон и электрички не обнаружил. Найти вероятность того, что ему придется ждать меньше 2-х минут.

Решение:

С.в. ξ –время ожидания электрички. Она может принимать значения в интервале [0, 5] с равными вероятностями. Т.е. это равномерное распределение с параметрами а=0, в=5. Найти надо

P{x £ 2} = P{0 <x £ 2} = F_ξ(2) - F_ξ(0) 

5.2 Экспоненциальное ( показательное) распределение

Случайные величины, распределённые подобным образом, описывают время между наступлениями редких событий (см. распределение Пуассона). Параметром этого распределения также является величина  . Плотность распределения задаётся как

Функция распределения:

Мат. ожидание и дисперсия: 

Пример 2. Время работы телевизора подчиняется экспонициальному распределению, причём среднее время работы до поломки 2 года. Найти вероятность того, что телевизор проработает 5 лет.

Решение:

С.в. ξ – время работы телевизора до поломки. Найти надо

Для нахождения параметра λ вспомним , что “среднее время работы” – это мат. ожидание с.в. Для показательного распределения  ,

Отсюда находим : λ = ½. Тогда 

5.3 Нормальное распределение.

Нормальному распределению подчиняется множество случайных величин: рост и вес человека, прибыль предприятия, температура воздуха и т.д. Параметрами его являются величины a (среднее) и σ ( СКО). А само распределения обозначается N(a, σ) (т.е. “нормальное с параметрами a и σ”)

Плотность нормального распределения:

Нормальное распределение играет очень важную роль в теории вероятностей и мат. статистике, поэтому рассмотрим его подробнее.

Кратко опишем некоторые свойства плотности для N(a, σ):

1. эта функция симметричена относительно прямой х = а (см. рисунок ниже)

2. имеет максимум в точке х = а, и сам максимум равен 

3. 

График плотности нормального распределения выглядит следующим образом:

Параметр а не влияет на высоту “горки”, на ее высоту влияет σ: чем σ меньше, тем “горка” выше и круче. Это согласуется с физическим смыслом σ (мера разброса).

Особое место занимает нормальное распределение N ( 0, 1) – оно называется стандартным или нормированным.

График плотности такого распределения симметричен относительно оси OY.

Функция распределения для нормально распределённой случайной величины

Для стандартного нормального распределения N ( 0, 1) функция распределения обозначается Ф(х) и задаётся выражением:

Как уже говорилось, интеграл этот – “неберущийся” и значения этой функции берут из специальных таблиц. Часто вместо функции Ф(х) используют Ф₀(х):

Связь между ними следующая: Ф(x) = 0.5 + Ф0(x)

Утверждение: Для N(a, σ) справедливы равенства:

1) 

Т.е. имея таблицу функции Ф(х) или Ф₀(х) легко вычислить функцию распределения для нормального распределения с любыми параметрами

2) Р{х₁ < ξ < х₂} = Ф ( (х₂ – а) / σ) – Ф ( (х₁ – а) / σ) =

Ф0 ( (х₂ – а) / σ) – Ф0 ( (х₁ – а) / σ).

3) Р {|ξ – a| <ε} = 2 Ф0 (ε/σ).

Пример 3. Случайная величина x – длительность беременности женщины.

Плотность распределения x дана на рисунке ниже. Известно, что в интервал [270,290] попадает 68% родов, в интервал [260, 300] – 95%, в интервал [250,310] – 97%. Найти параметры нормального распределения. 

Из рисунка видно, что параметр а ( среднее) равен 280 дней. Чтобы найти параметр σ, надо взять любой симметричный относительно среднего интервал. Возьмём, к примеру, [270,290]. Известно, что

Р{270 <ξ< 290} = 0.68

Р{270 <ξ< 290} = F(290) – F(270) = Ф0((290 – 280) /σ) – Ф0((270 – 280) /σ) = =2× Ф0 (10/σ). Получаем уравнение

2Ф0 (10/σ) = 0.68

Ф0 (10/σ) = 0.34

Теперь по таблице функции Ф0 находим значение функции, наиболее близкое к 0.34, и определяем соответствующий ему аргумент. В данном случае он равен 0.995.

10/σ = 0.995

σ = 10.05

Т.е. это нормальное распределение с параметрами а=280, и s = 10.05.