Задачи для самоконтроля к §2,3,4
1. В урне 15 шаров, из них 9 красных и 6 синих. Найти вероятность того, что два наугад выбранных шара окажутся красными.
2. Имеются карточки с буквами Б, Р, К, А. Найти вероятность того, что при случайном раскладывании получится осмысленное слово ( БАРК, КРАБ, БРАК).
3. В урне 20 белых, 20 чёрных и 20 красных шаров. Последовательно извлекают 3 шара. Событие А – все шары одного цвета, В – все разных цветов. Найти вероятность событий. Совместны ли они?
4. Из колоды в 52 карты наугад извлекают три. Какова вероятность того, что это будут тройка, семёрка, туз? (порядок извлечения не учитывается).
5. Из колоды в 36 карт случайным образом извлекли четыре. Найти вероятность того, что среди них не меньше трёх тузов.
6. В комплекте из 10 микросхем 4 бракованных. Найти вероятность:
а) взять бракованную микросхему;
б) того, что две наугад взятые микросхемы окажутся исправными;
в) того, что из двух наугад взятых микросхем одна бракованная
§5 Условная вероятность
Определение 1. Пусть даны события А и В, и Р(В) > 0. Тогда вероятность события А при условии, что произошло событие В, определяется равенством:
(5.1)
иначе говоря, это вероятность события А, при условии, что событие В уже наступило.
Пример 1. Игральную кость подбрасывают 1 раз. Событие А – выпало 6 очков, событие В – выпало четное число очков. Найти Р(А/В).
Решение:
Р(А/В) = Р(АВ) / Р(В) =
{ Р(В) = |B| / | Ω| = 3/6, P(AB) = |AB| / | Ω| = |A| / | Ω| = 1/6}
Утверждение 1. Формула (5.1) задает вероятность, т.е. выполняются аксиомы А1, А2, А3.
Доказательство:
Проверим выполнение аксиом.
А1) Р (А/В) = Р(АВ) / Р(В) ≥ 0 т.к. числитель и знаменатель неотрицательные величины.
А2) Р (Ω/В) = Р(ΩВ) / Р(В) = Р(В) / Р(В) =1.
А3)
Т.е. аксиомы выполняются, следовательно, формула (5.1) задаёт вероятность.
Утверждение 2. Если А и В несовместные события, то Р(А / В) = 0. (5.2)
Доказательство:
Р(А / В) = Р (А× В) / Р(В) =
{т.к. события несовместны, множества не пересекаются }
=Р(Ø) / Р(В) = 0.
Теорема 1( Формула произведения событий). Пусть даны события А1, А2, …,Аn, которые могут произойти при одном испытании. Тогда
(5.3) Р(А1× А2. …× Аn ) = Р(А1) Р(А2/А1) Р(А3/(A1 A2)).............Р(Аn/ (А1А2 …Аn-1))
Доказательство:
Используем для доказательства принцип мат. индукции.
Рассмотрим сначала случай n = 2:
Тогда
Р(А2/А1) = Р(А2А1) / Р(А1) (по 5.1),
Р(А1×
А2) = Р(А1) × Р(А2/А1).
Предположим, что для некоторого n теорема доказана, проверим её для n +1:
Р(А1 А2…Аn An + 1) =
{введём событие В= А1 А2…Аn }
=P(B× An + 1) = {т.к. для двух событий формула уже доказана}
=Р(В) ∙ P(Аn +1/В)= P(А1 А2…Аn ) ∙ P(Аn +1/ (А1А2...Аn )) =
{по индукционному предположению}
=Р(А1) ∙ Р(А2/А1) ...P(Аn / (А1 А2… Аn An – 1 )) ∙ P(Аn +1/ (А1 А2… Аn ))
Теорема доказана.
Пример 2. В корзине имеется 3 красных яблока и 7 зеленых. Некто, не глядя, вытащил два яблока. Найти вероятность того, что первое яблоко окажется красным, а второе зеленым.
Введём события А ={ первое яблоко красное}, В – {второе яблоко зеленое}.
Тогда вероятность заданного события
Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(А/В) = 3/10 ∙ 7/9 = 7/30.