Задачи для самоконтроля к §6, 7

1. Случайные величины x и h являются дискретными и независимыми.

Даны законы их распределения. Составить закон их совместного распределения и найти cov(x , h ).

x	0	10	15		h	7	14	25
р	2/5	1/5	2/5		p	1/2	1/6	1/3

2. По цели проводится три независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,7. Случайная величина x – число попаданий в цель, h – число промахов. Составить таблицу распределения системы случайных величин (x , h ) и найти cov(x , h ).

3. Плотность распределения случайной величины (x , h ) определяется по формуле:

Найти параметр k, плотности распределения компонент, функцию распределения и вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

§8 Задача о наилучшем линейном прогнозе.

Определение 1. Пусть даны случайные величины ξ₁ ,ξ ₂ , …ξ_nи зависящая от них случайная величина η. Рассмотрим следующую задачу: мы знаем конкретные значения величин ξ₁ ,ξ ₂ , …ξ_n ,и требуется предсказать значение величины η . Такую задачу будем называть задачей прогноза.

Реальные задачи прогноза – предсказание всевозможных климатических характеристик, предсказание траектории движущихся объектов и т.д.

Пример 1. Пусть тренер баскетбольной секции знает, какой рост был у спорстмена в 10 лет (ξ₁ ), и в 15 лет (ξ₂ ). И для того, чтобы определить перспективность спортсмена, ему надо спрогнозировать его рост в 20 лет (h ).

Мы рассмотрим простейший случай зависимости случайных величин – линейную .

Определение 2. Пусть даны случайные величины ξ₁ ,ξ ₂ , …ξ_n , η. Линейный прогноз величины η определяется равенством:

= а_1× ξ₁ + а_2× ξ₂ + … а_n × ξ_n + а₀, где а₀, а₁, …а_n – некоторые константы.

Т.е. предположили, что η линейно зависит от ξ

₁… ξ _n и задача – найти неизвестные константы.

Замечание.  – так же является случайной величиной, т.к. обычно мы не можем точно предсказать значения η , но можно с той или иной точностью оценить эту величину.

Теорема. Пусть даны случайные величины ξ₁ ,ξ ₂ , …ξ_n , η. Пусть

 – значения соответствующих случайных величин, полученные в результате опыта. Тогда значение η (обозначим  ) можно представить в виде :

 8.1

Константы с₁, с₂, с₃ ….. с_n находят из системы линейных уравнений:

 8.2

Замечание. Если система 8.2 не имеет решения ( вырожденная ), то прогноз можно строить по части случайных величин ξ₁, ξ₂, …ξ_n.

Следствие. Рассмотрим случай n = 1, т.е когда заданы случайные величины ξ и η, η –линейно-зависима от ξ, и надо предсказать по . Тогда из 8.1 и константа с находится из уравнения:

Тогда:

Пример 2. Пусть ξ рост человека, η – его вес. В некоторой стране средний рост 175 см., а средний вес 70 кг. Матрица ковариаций для этих случайных величин :

 

Известно, что рост некоторого человека 190 см., предсказать его вес.

Решение:

=190; Мx =175; Мh =70; Линейный прогноз случайной величины η