Свойства операций над множествами

Напомним свойства операций над множествами, известные вам из курса дискретной математики.

1. А · Ω = А

2. А + Ω = Ω

3. А · Ø = Ø

4. А + Ø = А

5. (А + В) · С = АВ + ВС

6. 

7. 

Формулы 6) и 7) легко обобщаются на случай большего количества множеств.

Пример 7. Рассмотрим следующие события:

А – студент курит;

В – живет в общежитии;

С – студент мужского пола;

Тогда

А + В – или курит, или живет в общежитии, или то и другое вместе.

– не курит, женщина, живет в общежитии.`

– не курящая студентка, не живущая в общежитии.

Отношения между событиями.

Определение 8. Пусть даны два события, которые могут произойти при одном испытании. Говорят, что из события А следует событие В, если при наступлении события А автоматически наступает В. Обозначается это как А => В. На множествах это означает, что 

Определение 9. Два события А и В эквивалентны, если А => В, и В => А. Обозначают этот факт как А = В.

Соответствующие множества при этом совпадают:

{А} = {В}.

Определение 10. Два события А и В не совместны ( или не совместимы), если А и В не могут произойти при одном испытании.

Множества, соответствующие этим событиям, не имеют общих элементов.

Если события могут произойти при одном испытании, то они совместны.

Пример 8. Рассмотрим следующие события:

А – студент получил 4 на экзамене;

В – не сдал экзамен;

С – сдал экзамен;

Тогда события А и В – несовместны; А и С – совместны;

В и С –несовместны;

А => C  .

Определение 11. Пусть даны события А1 , А2, ………., Аn, связанные с одним испытанием. Они образуют полную группу попарно несовместных событий, если выполняются следующие условия:

1. А1 + А2 +……..+ Аn = Ω (т.е. в сумме эти события образуют всё пространство элементарных исходов).

2. A_i и А_j – несовместны при i ≠ j (т.е. попарно несовместны).

Пример 9. Игральную кость бросают 1 раз. Введём события:

А1 = { выпало меньше трёх очков }

А2 = { очков выпало больше двух , но меньше шести}

А3 = { выпало 6 очков }

Образуют ли они полную группу событий? Проверим выполнение первого условия:

А1 + А2 + А3 = { ω1, ω2, ω 3, ω4, ω5, ω6 } = Ω

Проверим попарную несовместимость (второе условие):

А1 и А2 – не совместны;

А1 и А3 – не совместны;

А2 и А3– не совместны;

Т.о. это полная группа попарно несовместных событий.

Задачи для самоконтроля к §1

1. Монета подбрасывается до первого герба. Выписать пространство элементарных исходов и события: А={герб выпал при втором подбрасывании}, В={потребовалось не более трёх подбрасываний}, C={потребовалось чётное число подбрасываний}. D=B× C; E=A+B.

2. Образуют ли полную группу следующие события:

а) Опыт – бросание монеты; события: А₁–появление герба, А₂– появление цифры.

б) Опыт – бросание двух монет; события: В₁ –появление двух гербов, В₂ – появление двух цифр.

в) Опыт – два выстрела по мишени; события: С₁– ни одного попадания, С₂ – два попадания.

3. Для социологического обследования случайно выбирается семья с тремя детьми. Рассматриваются события: А– первый ребёнок девочка, В – первый ребёнок мальчик, С – есть и мальчик, и девочка. Выписать пространство элементарных исходов, события А, В, С. Проверить, будут ли совместны А и В,   и В.