10.3 Формула Пуассона (формула редких событий).

А как вычислить Р_n(k) приближенно, если какие – то из условий предыдущих теорем не выполняются?

Теорема 3. Пусть проводятся испытания по схеме Бернулли, и вероятность успеха р достаточно мала, т.е. р ≤ 0.1, и n ∙ p ∙q < 3. При этих условиях и достаточно большом, но конечном n, справедлива формула Пуассона.

Эта функция также протабулирована.

Пример 3. По цели проводятся 5000 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле 0.0001. Найти вероятность хотя бы одного попадания.

Выполняются условия схемы Бернулли, n=5000, р = 0.0001, q = 0.9999. Если применить формулу Бернулли, то

P {хотя бы одно попадание} = 1 – Р₅₀₀₀(0) = 1 – q ⁵⁰⁰⁰ = 1 – (0.9999)⁵⁰⁰⁰

Такую величину сложно вычислить. Применим формулу Пуассона, проверив сначала условия её применимости:

р= 0.0001 < 0,1, n× p× q = 5000·0,0001·0,9999 = 0,5·0,9999 = 0,49995<3. Т.е. формулу Пуассона применять можно:

10.4 Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Вновь будем считать, что находимся в условиях схемы Бернулли. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р ( 0 < р < 1). Эту вероятность называют постоянной вероятности (т.к. она не меняется). Предположим, что на практике в n испытаниях случилось m успехов. Величину m/n называют относительной частотой, она является некоторым практическим приближением теоретической вероятности р. Понятно, что они в реальной жизни отличаются. Задача – найти вероятность того, что теоретическая вероятность отличается от практического приближения не больше, чем на достаточно малую величину e .

Теорема 4.

 

(левая часть читается как: “Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности не больше, чем на величину e .”)

Пример 4. Сколько раз нужно бросить кость, чтобы с вероятностью 0.9 можно было ожидать отклонения частоты появлений пятёрки от 1/6 не более чем на ε.

Решение:

Ищем по таблице функции Ф₀(х) зачение функции, наиболее близкое к 0,45,

и определяем аргумент при этом значении. В данном случае

 выражаем из этого уравнения n:

Подставим в эту формулу различные значенияε< :

при ε= 0.1 n ≈ 38;

при ε= 0.01 n ≈ 3758

Можно сделать следующий вывод: чем больше n, тем меньше разница между теорией и практикой. Есть предположение, что при n→∞ они будут совпадать. Об этом и говорит Закон больших чисел.

Закон больших чисел в схеме Бернулли.

Теорема. Пусть ν_n – количество успехов в n испытаниях. Тогда

lim Р (|ν>n /n – р| ≤ ε ) = 1

n→∞

Это утверждение является следствием предыдущей теоремы:

Т.к. при x→ ∞ Ф₀(x) → 0,5 , следовательно, 2Ф₀(x) → 2× 0,5=1.

Читается это так: относительная частота стремится по вероятности к постоянной вероятности. Это означает, что отклонения могут быть , но при n→∞ вероятность большого отклонения равна 0.

Задачи для самоконтроля к §10

1. Вероятность производства нестандартного конденсатора на некотором заводе равна 0,2. Конденсаторы поступают потребителю в коробках по 400 штук. Какова вероятность того, что в коробке 64 нестандартных конденсаторов? 328 стандартных?

2. Среди школьников, проживающих в некотором городе, 40% близоруких. Какова вероятность того, что из 600 случайно отобранных школьников близоруких будет не более 252? Не близоруких будет хотя бы 330?

3. В вычислительной машине 1000 блоков. Вероятность отказа одного блока в течение суток равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение суток у машины:

а) откажут два блока;

б) ни один блок не откажет.

в) откажут более двух блоков;