2.2 Функция распределения дискретной с.В.

Определение 3. Пусть дана дискретная С.В., заданная рядом распределения

Значение ξ	х1	х2	…….
вероятность	р1	р2	……..

Функция распределения дискретной с.в. строится следующим образом:

Пример 2. Монету подбрасывают 2 раза. С.В. ξ – число выпавших гербов. Построить функцию распределения.

Решение:

Сначала построим ряд распределения:

ξ	0	1	2
Р	¼	½	¼

0, если х ≤ 0,

¼ , если 0 < х ≤ 1,

F_ξ(x) = ¼ + ½ , если 1 < х ≤ 2,

1, если х > 2.

График такой функции (они называются ступенчатыми) выглядит следующим образом:

2.3 Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Определение 3. Пусть дискретная С.В. задана рядом распределения

(х₁,р₁) , (х₂, р₂),….., (х_n, р_n). Математическим ожиданием (МО) дискретной С.В. называют

Замечание. В случае, когда случайная величина принимает счетное количество значений, МО существует, если ряд  абсолютно сходится. В противном случае МО не определено.

Физический смысл мат. ожидания – среднее значение С.В.

Теорема 1( свойства мат. ожидания)

1) пусть ξ принимает только одно значение, т.е. ξ =с (const). Тогда М(с) = с.

2) М(ξ₁ + ξ₂) = М(ξ₁) + М(ξ₂).

3) М(сξ) = с М(ξ).

4) Если ξ и η – независимые с.в., то М(ξ∙η) = М(ξ) ∙ М(η) (с.в. независимы, если значения, которые принимает одна С.В. не влияют на значения, которые принимает другая С.В.) Без доказательства.

Пример 3. М(ξ₁)=2.5, М(ξ₂)=3.4. ξ₁ и ξ₂ – независимы. Найти МО для

ξ₃ = 4.5ξ₂ –ξ₁ +0.5.

Решение:

Мξ₃ = М(4.5ξ₂ –ξ₁ +0.5) = М(4.5ξ₂ ) +М(–ξ₁ ) +М(0.5)=

4.5 Мξ₂ –Мξ₁ +0.5= 13.3.

Теорема 2. Пусть даны дискретная С.В. ξ и η = f(ξ) – не случайная функция. Тогда

Пример 4. Случайная величина задана рядом распределения. Найти МО для с.в. h = x ²+1.

x	–1	2.5	3	4.5
р	0.1	0.3	0.4	0.2

Решение: Мh =((-1)²+1)0.1 + (2.5²+1)0.3+ (3²+1)0.4 +(4.5²+1)0.2=10.625.

2.4 Дисперсия.

Определение 4. Дисперсией С.В. ξ называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её мат. ожидания, т.е.

Dξ = M(ξ – M ξ)²

Физический смысл дисперсии – мера разброса случайной величины.

Кроме дисперсии для оценки разброса используют также среднеквадратичное отклонение от средней величины (СКО), равное  .

Теорема 3. Дисперсию можно вычислять по формуле:

Dξ = M(ξ²) – (M ξ)².

Доказательство:

Обозначим а = Мξ. Тогда Dξ = М(ξ – а)² = М(ξ² – 2аξ + а²) =

= М(ξ²) + М(– 2аξ) + М(а²) = М(ξ²) –2а M(ξ) + а² = М(ξ²) – 2а² + а² =

М(ξ²) – а²= М(ξ²) – (Mξ)².

Следствие. Для дискретной С.В. ξ дисперсию можно вычислить как

( следует из теоремы 3 и теоремы 2)

Теорема 4.( свойства дисперсии) Пусть имеются с.в. x , h и константа с. Тогда

1. D(с) =0.

2. D(сξ) = с²Dξ.

3. Dξ ≥ 0   .

4. Для независимых ξ и η D(ξ + η) = Dξ + Dη

Доказательство:

1. D(с) = М(с²) – (Мс)²= с² – с²

2. D(сξ) = М(сξ)² – (М(сξ))² = с² М(ξ²) – с² M(ξ)² =

с² (М(ξ²) – M(ξ)² = с²Dξ

3) Следует из определения: Dξ = M(ξ – M ξ)² –среднее значение неотрицательной случайной величины, оно неотрицательно.

4) D(ξ + η) = М(ξ + η)² – (М(ξ + η))² = М(ξ² + 2ξη + η²) –(Мx +Мh )²

= Мξ² + 2Мξ Мη + Мη² –( (Мξ)² + 2Мξ Мη + (Мη)²) = Dξ + Dη

Пример 5. Вычислить Мξ и Dξ для с.в. из примера 2. Её ряд распределения:

ξ	0	1	2
Р	¼	½	¼

Мξ = 0 ∙ ¼ + 1∙ ½ + 2 ∙ ¼ = 1

Вычислим дисперсию сначала по определению: Dξ = M(ξ - M ξ)² . Для этого надо построить ряд распределения С.В. (ξ – M ξ)²:

(ξ – 1)²	1	0	1
Р	¼	½	¼

Эту таблицу, строго говоря, нельзя назвать рядом распределения, т.к. в ней есть повторяющиеся значения и они не упорядочены. Устраним этот недостаток:

(ξ – 1)²	0	1
Р	1/2	1/2

Тогда Dξ = 0 ∙ ½ + 1 ∙ ½ = ½

Вычислим дисперсию другим способом, по теореме 3:

Dξ = M(ξ – M ξ)²

Для этого надо найти М( ξ²) = Σ х_i² P_i = 0² ∙ ¼ + 1²∙ ½ + 2² ∙ ¼ = 1,5

тогда Dξ = 1,5 – 1² = ½.