Глава 2 Случайные величины.

§1 Случайные величины и функция распределения.

Мы уже сталкивались с событиями, состоящими в появлении того или иного числа. Например, бросание кости: событие заключается в появлении чисел 1,2…6. Определить заранее число выпавших очков невозможно, т.к оно зависит от разных причин, все из них учесть нельзя. В этом смысле число выпавших очков есть случайная величина, а числа 1, 2, 3…6 – возможные значения случайной величины.

Определение 1. Дано некоторое испытание с пространством элементарных исходов Ω. Случайой величиной называется функция ξ(ω):Ω→R (определённая на пространстве элементарных исходов и принимающая значения из множества R).

Примеры:

1) Число родившихся мальчиков среди 100 новорожденных – случайная величина, которая может принимать значение 0, 1, 2…, 100.

2) Расстояние, которое пролетает снаряд при выстреле – случайная величина, которая может принимать значения от А до В ξ(ω):Ω→[А<,В].

3) Игральную кость подбрасывают 2 раза. Рассмотрим случайную величину ξ – сумму выпавших очков.

Ω = {(i, j) i, j = 1,…6}, где i – количество очков при первом броске, j – при втором.

ξ((i,j)) = i + j, ее возможные значения 2, 3,…, 12.

Как задать случайную величину (с.в. для краткости)?

На первый взгляд может показаться, что для задания С.В. достаточно перечислить ее возможные значения. В действительности это не так, потому что С.В. могут иметь одинаковые множества значений, но принимать эти значения с разными вероятностями. Т.е надо задавать и значения, и вероятности, с которыми С.В. принимает эти значения. Всё вместе это называется законом распределения С.В.

Функция распределения

Определение 2. Пусть дана С.В. ξ. Функция распределения задается равенством:

F_ξ(x) = P{ξ < x} ( вероятность того, что ξ строго меньше х)

Теорема ( свойства функции распределения)

1. 0 ≤ F_ξ(x) ≤ 1

2. F_ξ(x) монотонно неубывающая функция, т.е если х < у, то F_ξ(x)  F_ξ(у).

3. ,

(кратко это будем записывать как F_ξ(∞) = 1, F_ξ(-∞) = 0)

4) P{x ≤ >ξ < y} = F<_ξ>(у) – F_ξ(x)

Доказательство:

1) очевидно, т.к F_ξ(x) – вероятность,а она всегда в интервале [0, 1].

2) и 4) Введём события А = {ξ < у}, В = {ξ < х}, С = {x ≤ ξ < y}. Тогда

А = В + С. События В и С – не совместны,   Р(А) = Р(В) + Р(С)

Р{ξ < у} = Р{ξ < х} + Р{x ≤ ξ < y}. По определению 2 это

F_ξ(у) = F_ξ(x) + Р{x ≤ >ξ < y}. Т.к. Р{x ≤ >ξ < y}³ 0, то

F_ξ(у) ≥ F_ξ(x). Отсюда же

P{x ≤ ξ < y} = F_ξ(у) - F_ξ(x).

P>3) Возьмем достоверное событие {ξ < ∞} = Ω.

Р{ξ < ∞} = Р(Ω) = 1. По определению 2: Р{ξ < ∞} = F_ξ(∞) = 1.

Второй предел доказываем аналогично:

возьмем невозможное событие {ξ < –∞} = Ø. Р{ξ < –∞} = Р(Ø) = 0. По определению 2: Р{ξ < – ∞} = F_ξ(–∞) = 0. 

§2 Дискретные случайные величины.

2.1 Ряд распределения.

Определение 1. С.В. называется дискретной, если она принимает конечное или счетное число значений.

Определение 2. Дана дискретная С.В., принимающая значения х₁, х₂, …, х_n . Рядом распределения этой с.в. называют множество пар

(х₁,р₁) , (х₂, р₂)……, где р_i = Р{ξ = х_i}. Часто ряд распределения записывается в виде таблицы:

Значение ξ	x1	х2	…….	хn
вероятность	p1	p 2	……..	p n

где х₁ , х₂……– упорядочены по возрастанию.

Пример 1. В коробке 6 ламп, из них 3 бракованные. Рабочий извлекает лампы по одной, до тех пор пока не вытащит небракованную. С.В. ξ – число извлеченных ламп. Надо построить её ряд распределения.

Очевидно, что ξ – дискретная с.в., принимающая значения 1 ,2, 3, 4.

Чтобы найти вероятности , обозначим через А_i – i- я лампочка не бракованная. Тогда

Р₁ = Р{ξ = 1} = 3/6= 1/2

Р₂ = Р{ξ = 2} = Р(Ā₁) × Р( А₂/Ā>₁) = 1/2× 3/5 = 3/10

Р₃ = Р{ξ = 3} = Р(Ā₁)× Р( Ā₂/Ā<₁)× Р(А₃ /(Ā_2× Ā₁)) = 3/6 × 2/5 × 3/4 = 3/20

Р₄ = Р{ξ = 4} = Р (Ā_1× Ā_2× Ā_3× А₄) = 3/6× 2/5 × 1/4 × 3/3 = 1/20

Т.к. события {ξ = 1}, {ξ = 2},{ξ = 3}, {ξ = 4} составляют полную группу событий, то сумма вероятностей Р₁+Р₂+Р₄+Р₃ = 1.

Т.е. ряд распределения:

Значение ξ	1	2	3	4
вероятности	1/2	3/10	3/20	1/20