§ 3. Математические модели и экономика

Мы рассмотрели несколько примеров математических моделей. Какие общие стороны имеются во всех примерах? Как мы действуем, создавая математическую модель? Какими бывают математические модели? Какие особенности возникают при моделировании экономических явлений? Попытаемся прояснить поставленные вопросы.

При создании математической модели исходят из реальной задачи. Вначале уясняется ситуация, выясняются важные и второстепенные характеристики, параметры, свойства, качества, связи и т.д. Затем выбирается одна из существующих математических моделей либо создается новая математическая модель для описания изучаемого объекта.

Вводятся обозначения. Записываются ограничения, которым должны удовлетворять переменные величины. Определяется цель – выбирается целевая функция (если это возможно). Не всегда выбор целевой функции однозначен. Возможны ситуации, когда хочется и того, и этого, и еще многого другого…. Но различные цели приводят к различным решениям. В этом случае задача относится к классу многокритериальных задач. Такие задачи в данной книге не рассматриваются.

После того как составлена математическая задача, выбирается способ ее решения. Здесь возможно применение ЭВМ. После получения решения происходит его сопоставление с реальностью.

Если полученные результаты подтверждаются практикой, то модель можно применять и с ее помощью строить прогнозы. Если же ответы, полученные на основе модели, не соответствуют действительности, то модель не годится. Нужно создавать более сложную модель, которая лучше соответствует изучаемому объекту.

Какая модель лучше: простая или сложная? Ответ на этот вопрос не может быть однозначным.

Если модель слишком простая, то она плохо соответствует реальному объекту. Если же модель слишком сложная, то может оказаться так, что при существовании хорошей модели мы не в состоянии на ее основе получить ответ. Может существовать хорошая модель и иметься алгоритм решения соответствующей задачи. Но время решения окажется настолько большим, что все остальные достоинства модели этим будут перечеркнуты. Ждать ответа, например, 300 лет мы не можем. А для некоторых моделей возникает именно такая ситуация. Поэтому при выборе модели нужна «золотая середина».

Среди математических моделей принято выделять следующие классы моделей:

1)Оптимизационные модели. Это математические модели, в которых имеется какая-либо целевая функция, которая измеряет качество принимаемого решения. Примерами таких моделей могут служить модели из задачи о проектировании дороги и др.

2)Общая задача математического программированиятоже относится к этому классу моделей. Рассмотрим постановку такой задачи. Начнем со знакомого нам примера.

Пример.Найти наименьшее значение функции

на отрезке .

Запишем ограничения иначе:

Это математическая модель в виде задачи математического программирования. Напомним, что задачей такого типа является задача о проектировании дороги.

3.1. Знакомимся с математическим моделированием

Перейдем к общему случаю. Пусть в рассматриваемой модели введены переменные х_1, х_{2 ,…,} х_n, которые подчинены ограничениям в виде уравнений

(1)

и неравенств

(2)

Пусть имеется функция цели

(3)

Ограничения (1), (2) и функция цели (3) определяют общую задачу математического программирования.

Уравнения (1) и неравенства (2) определяют, какие наборы значений считаются допустимыми. Функция целиизмеряет качество решения

Например, если функция цели максимизируется и мы имеем

то допустимое решение хуже допустимого решения

.

Напомним, допустимость решения означает, что для соответствующего ему набора чисел выполняются все уравнения (1) и все неравенства (2).

Оптимальнымназывается такое допустимое решение, которое не хуже остальных допустимых решений. А именно

-оптимальное решение (для задачи на максимум), если оно допустимое и выполнено неравенство

для любого допустимого решения:

Пример. Пусть допустимые значения переменных таковы:

Функция цели имеет вид:

Тогда будет точкой максимума функцииh.

Действительно,

При любых других значениях ипоскольку

и

Поэтому выполняется неравенство

для всех допустимых значений:

Оптимальное решение для задачи максимизации – это точка максимума функции

Аналогично выглядит определение для случая минимизации.

Если функция из (1), (2) и (3) линейные, то мы имеем задачу линейного программирования. С задачами линейного программирования мы будем знакомиться в главе 2.

Кроме оптимизационных математических моделей выделяют модели функциональные.В этих моделях можно по одним значениям переменных находить другие значения. Типичным примером такой модели служит формула,которая связывает времяскорость телаи пройденный путьв случае равномерного прямолинейного движения. С ее помощью можно, например, зная путь и время, найти скорость или, зная скорость и время, найти путь, пройденный телом. К моделям этого типа относится линейная балансовая модель экономики.

Модели бывают также динамическиеистатистические.В динамических моделях участвует фактор времени. Такие модели описывают поведение моделируемого объекта в зависимости от времени (вспомним задачу о колебании шарика). В статических моделях фактор времени не учитывается.

Если некоторые величины, входящие в модель, являются случайными (это понятие изучается в теории вероятностей), то модель будет вероятностной. При рассмотрении таких моделей потребуется знание теории вероятностей.

Поговорим теперь об особенностях моделирования экономическихявлений. Экономика – одна из сложнейших областей деятельности. Экономические объекты могут описываться сотнями, тысячами параметров, многие из которых носят случайный характер. Кроме того, в экономике действует человеческий фактор. Предсказать поведение человека бывает трудно, подчас невозможно.

Экономика зависит от социального устройства общества, от политики и еще от многих факторов. И все же моделирование экономических явлений, процессов возможно. Для моделирования экономики применяют не одну модель, а систему моделей. В этой системе есть модели, описывающие разные стороны экономики. Есть модели экономики страны (их называют макроэкономическими), есть модели экономических явлений на отдельном предприятии или даже модель одного экономического события (их называют микроэкономическими). При составлении модели экономики сложного объекта производят так называемое агрегирование. При этом ряд родственных параметров объединяют в один параметр, тем самым общее количество параметров уменьшается. На этом этапе важную роль играют опыт и интуиция. В качестве параметров можно выбрать не все характеристики, а наиболее важные.

Приведем примеры экономических моделей. Все они носят упрощенный, учебный характер.

Пример 1. Рассмотрим «экономическую систему», состоящую из одной отрасли производства – добыча нефти. При добыче нефти расходуются трудовые ресурсы, оборудование, денежные средства и т.д. и т.п. Но мы рассмотрим предельно упрощенную модель, в которой все эти компоненты не учитываются. Мы будем считать существенным то, что при добыче 10 тонн нефти в процессе производства расходуетсятонна нефти. Эта цифра условная. Реальная доля расхода нефти на внутренние нужды будет другая, но мы считаем, чточасть добытой нейти идет на внутренние нужды. Обозначим эту величину черезИтак,Пусть нам требуется добытьтонн нефти. Сколько всего тонн нефти придется выкачать из скважины, чтобы получить после вычетов на внутрипроизводственные нуждытонн?

При добыче тонн будет израсходованатонна, т.к.Для добычитонны нужно ещетонны нефти и т.д. В итоге получим значение

С практической точки зрения в этой сумме нужно оставить только несколько первых слагаемых, так как остальные слагаемые дают очень малый вклад в общую сумму.

С математической точки зрения эта сумма является бесконечной убывающей геометрической прогрессией. И сумма этой прогрессии равна

Обозначим через количество нефти, которое останется в распоряжении нефтедобывающей компании после вычетов внутрипроизводственных затрат (конечный продукт), через- общее количество добытой нефти (валовой выпуск),- количество нефти, потраченное на производственные нужды (внутрипроизводственные затраты).

Введенные величины удовлетворяют уравнениям

Валовой выпуск =

=внутрипроизводственные затраты + конечный продукт.

Заменим во втором уравнении, используя первое уравнение.

Придем к соотношению

Решая это уравнение, получим:

или

Подставим числовые данные:

Величина носит название коэффициента прямых затрат продукции,показывает долю продукции, которая идет на нужды производства.

Итак, для того чтобы иметь возможность продать тонн нефти, требуется добыть примернотонны.

В заключении заметим, что если использовать формулу для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

то можно представить в виде

т.е. тоже в виде геометрической прогрессии. Смысл слагаемых таков. Для добычи тонн требуется израсходоватьтонн, для получения этихтонн нефти нужно дополнительнотонн и т.д.

Величина называется коэффициентом полных внутрипроизводственных затрат. (Подумайте, почему у нее такое название!)

Отметим свойства: и(Подумайте, каков их экономический смысл!)

Рассмотренный пример служит первым шагом к изучению и использованию линейных балансовых моделей в экономике. В главе 3 все использованные здесь экономические понятия будут обобщены, что позволит рассмотреть решение ряда важных задач.

Пример 2.Рассмотрим экономику какой-либо области. Для создания модели произведем агрегирование (объединение, укрупнение) показателей. Объединим в одну отрасль все отрасли промышленности, а в другую – все отрасли сельского хозяйства.

Считаем, что экономика области состоит из двух обобщенных отраслей – промышленности и сельского хозяйства. Для того чтобы было возможно такое агрегирование, мы будем измерять произведенную продукцию не в натуральных показателях (штуках, тоннах, литрах и т.д.), а в денежных единицах (рублях, долларах, фунтах, марках и т.д.).

Пусть - валовой выпуск продукции промышленности за плановый период (месяц, квартал, год), выраженный в денежных единицах, а- валовой выпуск продукции сельского хозяйства. Часть промышленной продукции была потрачена на нужды промышленного производства. Пусть эта величина равнаДругая часть промышленной продукции была передана сельскому хозяйству. Обозначим ее черезОставшаяся часть образует так называемый конечный продукт. Обозначим его. Введенные величины удовлетворяют уравнению:

Аналогичное уравнение можно записать для продукции сельского хозяйства:

где - конечный продукт сельского хозяйства,- затраты сельскохозяйственной продукции в промышленности,- затраты сельскохозяйственной продукции на нужды самого сельского хозяйства.

Предположим, что внутрипроизводственные затраты пропорциональны соответствующему валовому выпуску:

Коэффициенты называют технологическими коэффициентами (коэффициентами прямых внутрипроизводственных затрат). Они характеризуют экономическую систему с точки зрения технологии производства.

Например, показывает затраты сельского хозяйства (в рублях) на один рубль валовой промышленной продукции.

Выпишем соотношения, которые имеются в нашей модели:

Получившаяся модель относится к классу моделей, которые носят название линейные балансовые модели экономикии которые будут рассмотрены в главе 3 в более общем виде.

Линейные балансовые модели находят применение при моделировании экономики фирмы, цеха, области или даже всей страны.

Ряд математических моделей нашел широкое практическое применение в экономике. К таким моделям относятся: задача линейного программирования, транспортная задача, задачи сетевого планирования, линейные балансовые модели и их обобщения, некоторые модели динамического программирования и т.д.

Некоторые модели имеют теоретический интерес, т.к. они помогают раскрыть смысл или дать интерпретацию понятий экономики на математическом языке. В любом случае рассмотрение экономико-математических методов представляет практический интерес.