1.2. Классические методы описания динамических систем.

В зависимости от целей исследования могут быть использованы различные классические методы описания и исследования динамики систем. Один из таких методов основан на том, что широкий класс динамических систем в линейном и конечномерном приближении

(1.2)

где I – вектор входных воздействий, R – вектор реакций системы, K – матрица импульсных переходных функций системы, е – время. В нелинейном случае К еще зависит от I.

Другие, более распространенные формы записи динамики системы предполагают использование дифференциальных уравнений. Прежде чем сравнивать два указанных подхода, изложим основные результаты метода дифференциальных уравнений.

1.2.1. Качественная теория динамических систем.

Пусть поведение динамической системы описывается совокупностью обыкновенных дифференциальных уравнений

(1.3)

где R=(r₁…,r_n) – состояние (точка) системы, - параметры системы. Тогда стационарное состояние находится из уравнения

(1.4.)

Если - особая точка – решение системы конечных уравнений, то вопрос об устойчивости полученного стационарного состояния решается вычислением корней характеристического уравнения.

(1.5)

Стационарное состояние устойчиво, если где- корни уравнения. Точки в которых нарушаются условия устойчивости, называются критическими или экстремальными.

Наиболее разработана теория динамических систем второго порядка. Различные фазовые портреты, соответствующие простым и сложным типам движений динамических систем.

1.2.2. Редукция сложных моделей.

Пусть (3) является автономной системой дифференциальных уравнений, в которой одна часть уравнений

относится к системе медленных движений, а вторая часть

(1.6)

относится к системе быстрых движений.

(1.7)

которая называется вырожденной. Система (7) называется присоединенной.

Теорема Тихонова. Решение полной системы (6), (7) стремится к решению вырожденной системы (8) при если

а) решение системы-устойчивая изолированная точка системы при всех значениях;

б) начальные условия для системы (70 попадают в область влияния устойчивой особой точки;

в) решение полной системы и присоединенной системы (7) единственно и правые части этих систем непрерывны.

Это теорема позволяет понизить порядок системы (3) и предоставляет возможность для практического его исследования. Общая схема редукции систем дифференциальных уравнений с многочисленными примерами. Суть ее заключается в следующем:

1. Для исследуемой системы необходимо составить блок-схему структурно-функциональной организации;

2. Затем составить математическую модель системы (с учетом целесообразного объема и уровня алгоритмизации), выделить системы быстрых и медленных движений, провести обезразмеривание параметров, понизить порядок системы уравнений;

3. Исследовать устойчивость движений системы, определить стационарные точки, исследовать характер особых критических точек;

4. На основании качественного исследования выбрать параметры для исчисленного исследования модели, получить численные решения и верифицировать их по экспериментальным данным;

5. Оценить область применимости модели, возможный социально-экономический эффект от ее использования в фундаментальных и прикладных исследованиях.