§ 2. Примеры математических моделей.
Создавая математическую модель, мы используем математические понятия. Рассмотрим несколько примеров математических моделей. Начнем с примера, который взят из книги С. Гасса «Путешествие в страну линейного программирования».
Задача 1. Составьте математическую модель способа одевания по утрам, если в комплект надеваемых предметов входят брюки, рубашка, галстук, носки, ботинки и пиджак.
Решение. Обозначим надеваемые предметы числами 1,2,3,4,5,6. Тогда способ одевания можно описать перестановкой этих чисел. Например, перестановка (4,2,1,5,3,6) означает, что сначала надевают носки (4), затем рубашку (2), затем брюки (1) и т.д. Всего существует 720 способов одевания. Однако не все из них допустимы. Надевать ботинки раньше носков, конечно можно, но вряд ли этот способ можно считать допустимым. Другими словами, необходимы некоторые ограничения. Не будем их описывать, примем только их наличие. Это уже математическая модель. Каждый из этих способов одевания можно охарактеризовать одним числом.
Например, в роли параметра можно использовать время, необходимое на одевание данным допустимым способом. Имея функцию, которая сопоставляет каждому способу одевания конкретное число, можно сравнить два различных способа одевания по необходимому для одевания времени. Нас, вероятно, будет интересовать тот способ, при котором это время будет минимально. Задача нахождения наилучшего (с принятой точки зрения) способа одевания будет задачей математического программирования, а найденный описанным образом способ одевания – оптимальным (наилучшим) планом.
Задача 2. (о размещении заказов).
Производственное объединение, в которое входят две мебельные фабрики, нуждается в обновлении парка станков. Причем первой мебельной фабрике нужно заменить три станка, а второй – семь. Заказы на изготовление станков можно разместить на двух станкостроительных заводах. Первый завод может изготовлять не более 6 станков, а второй завод согласен производить станки, если их будет заказано не меньше трех. Требуется составить математическую модель для описания размещения заказов.
Решение.
Введем такие переменные:
-
количество станков, которое будет
изготовлятьi-й
завод для j-й
фабрики.
Тогда
- общее количество станков, которое
изготовитi-ый
завод для обеих фабрик.
По условию задачи:
так как первый завод может изготовить не более 6 станков.
Аналогично
потому что второй завод согласен производить станки, если их будет заказано не менее трех. Кроме того, должны выполняться уравнения:
поскольку соответствующие количества станков необходимо изготовить для обеих фабрик.
Получаем систему ограничений в форме неравенств и уравнений:
0;
i
=1,2; j
= 1,2.
Последние неравенства
включены в систему исходя из смысла
этих переменных. Решения нужно искать
среди целых неотрицательных чисел:
Приведем одно из решений этой системы. Нетрудно проверить, что всем условиям удовлетворяет набор значений
Сразу же возникают вопросы: как найти ещё какое-нибудь решение, сколько всего существует решений, какое из них лучшее с определенной точки зрения.
Задача 3. (о проекте дороги).
Пусть требуется спроектировать систему дорог, которые будут соединять город, железную дорогу и озеро. Участок железной дороги имеет вид прямой, а озеро имеет форму круга. На берегу озера будет база отдыха, а на железной дороге планируется разместить станцию. Выбор места для базы отдыха (при условии, что она будет на берегу озера) и места для железнодорожной станции может быть сделан произвольно. Требуется спроектировать такую систему дорог, чтобы затраты на строительство были минимальными.
Рис. 1
Решение. Выберем систему координат так, чтобы железная дорога проходила вдоль оси (Оу), а центр озера был на оси (Ох) (рис.1).
Пусть
координаты города будут А
(
),
а центр озера имеет координатыС
(
;0).
Радиус озера обозначимR.
Через t
обозначим ординату станции: S
(0;t).
Пусть (u,
v)
– координаты базы отдыха В (u,v).
Выберем внутри треугольника ABS
точку М
с координатами (х;
y).
Соединим ее с точками A,
B
и S
отрезками. Эти отрезки будут соответствовать
дорогам, которые мы хотим построить.
Затраты на строительство станут
минимальными, при минимальной суммарной
длине этих отрезков.
Набор переменных нашей модели состоит из следующих величин: x, y, u, v, t. Значения
зафиксированы,
так как положение города и озера заданы.
Переменные величины не могут принимать
произвольные значения. Они подчинены
ограничениям. Запишем эти ограничения.
Во-первых, база отдыха находится на
берегу озера, поэтому расстояние ВС
= R.
Для нахождениярасстояния применяем
формулу:
где d – расстояние между точками
Итак,
Во-вторых,
точка М
не может быть внутри озера, - значит,
Выражая расстояние МС через координаты, получаем неравенство:
Затраты на строительство определяются длиной дорог. Суммарная длина дорог равна F = MS + MA + MB.
Выражая длины отрезков через координаты концов отрезков, получаем выражение для суммарной длины дорог:
Получим математическую задачу: найти такие значения переменных x, y, v, t, чтобы выполнялись ограничения
а функция F принимала бы наименьшее значение, возможное при этих ограничениях. Эта математическая задача является моделью для реальной задачи проектирования системы дорог. Модель можно упростить. Заметим что функция F принимает минимальное значение в такой точке, в которой выполнено условие t = y. С позиций геометрии это значит, что железнодорожную станцию следует поставить в основании перпендикуляра, опущенного из точки М на (Oy). Упрощенная модель выглядит следующим образом.
Найти такие значения переменных x, y, u, v, чтобы выполнялись ограничения
