Контрольные вопросы и задания

1. Опишите второй способ решения задачи дробно- линейного программирования.

2. При каком условии можно решить графически задачу дробно-линейного программирования?

3. Решите графически следующие задачи дробно-линейного программирования двумя способами:

а)

б)

4. Составьте практические задачи, которые могут быть решены с помощью задачи дробно-линейного программирования.

5. Дайте сравнительную характеристику двух способов решения задач дробно-линейного программирования. В чем состоит их сходство, а в чем различие?

§5. Многофакторные производственные функции

В первой главе объектом нашего внимания были однофакторные производственные функции. Они описывают характер зависимости выпуска продукции от затрат одного фактора производства (будь то суммарные издержки производства или затраты одного специфического ресурса). Отсюда и названия таких функций – однофакторные.

При изучении закономерностей функционирования некоторой экономической системы (всей экономики страны, отдельной отрасли, завода, цеха и т.д.) каждая входящая в ее состав экономическая единица (отрасль, предприятие, цех, участок и т.д.) характеризуется функцией, устанавливающей связь между затратами различных факторов производства (сырье, электроэнергия, трудовые ресурсы и т.д.) и объемом выпускаемой продукции. Пусть - затраты производственных ресурсовсоответственно, аy- соответствующий им объем выпускаемой продукции. Очевидно, разным объемам затрат отвечают, вообще говоря, разные уровни выпуска. То есть каждому набору чисел сопоставлено вполне определенное числоy.

С ситуациями, в которых значение одной величины зависит от значений, принимаемых несколькими другими величинами, вы уже встречались.

Так, объем V прямого кругового цилиндра зависит от его высоты H и радиуса основания R. Эта зависимость записывается в виде формулы

(1)

Формула площади треугольника

(2)

содержит три независимых переменных параметра a, b, и α. Изменение длины одной (или обеих) сторон треугольника или угла между сторонами отражается на величине S.

Дальность полета Т снаряда в пустоте, выпущенного с начальной скоростью из орудия, ствол которого наклонен к горизонту под углом φ, зависит от значенийи φ. Установлено, что

(3)

В формулах (1) и (3) имеем дело с функциями двух независимых переменных (R, H и V₀, φ соответственно). В (2) значение функции S зависит от значений трех независимых переменных и α. Здесь уже речь идет о функции трех переменных.

Определение 1. Функцией n независимых переменных называется правило, по которому каждому упорядоченному допустимому набору n действительных чисел ставится в соответствие вполне определенное действительное число .

Здесь - символ функции,-независимые переменные,- значение функции. Областью определенияявляется подмножество Мn-мерного арифметического пространства Rⁿ, состоящего из допустимых наборов . Множество значений содержится вR.

В определении 1 сказано, что набор упорядоченный и допустимый. Упорядоченность означает, что каждой переменной отводится своя роль. Так в (1)и если известно, что высота цилиндра равна пяти, а радиус основания – трем, то значение 5 надо придать второй переменной, а 3- первой, а никак не наоборот. В формуле (2) обозначимЯсно, что совершенно небезразлично, какую переменную следует изменить, когда угол между сторонами удвоили.

Это понятие определяется конкретным смыслом независимых переменных. Ясно, что все переменные в (1) - (3) неотрицательны и, кроме того,

Определение 2. Функция n независимых переменных, устанавливающая зависимость между затратами n производственных ресурсов и объемом выпускаемой продукции, называется n-факторный производственной функцией (функцией выпуска).

(4)

если (4) выражает зависимость объема выпускаемой данным предприятием продукции от затрат ресурсов , запасы которых ограничены, то, очевидно, допустимыми следует считать значения, удовлетворяющие следующей системе неравенств:

где запасыi-го ресурса (в стоимостном или натуральном выражении).

Не нарушая общности рассуждений, в дальнейшем будем рассматривать лишь функции двух независимых переменных. Обращение к функциям, зависящим от большого числа переменных, не влечет никаких принципиальных изменений, но вносит дополнительные технические трудности.

При моделировании экономики страны в качестве основных ресурсов используют затраты труда L и объем производственных фондов К. Национальный доход Y выступает в роли результата деятельности экономики. В принятых обозначениях макроэкономическая двухфакторная производственная функция записывается с помощью формулы

(5)

В математических моделях функционирования отдельного предприятия, цеха, участка и т.п. Y обозначает объем выпускаемой данным экономическим объектом продукции.

Конкретный вид производственной функции зависит от особенностей функционирования экономики и базируется на четырех предположениях о свойствах этой функции, следующих из обще-экономических соображений. Два из четырех предположений обсудим в этом параграфе.

Предположение первое. При отсутствии хотя бы одного производственного ресурса производство невозможно, т.е.

(6)

Предположение второе. При пропорциональном росте количества используемых ресурсов производства объем производства увеличивается в такое же число раз. Математически это можно записать так:

(7)

Так, если (вдвое увеличили затраты каждого ресурса), то выпуск увеличивается в два раза.

Функции, обладающие свойством (7), называют линейно-однородными.

Рассмотрим два вида находящих широкое применение производственных функций. Убедимся, что каждая из них обладает указанными свойствами.