А функция

достигла бы наименьшего значения при этих ограничениях.

Задача 4. (о рационе питания).

Составим математическую модель задачи о нахождении наиболее разумного и дешевого рациона питания. Пока задача звучит слишком абстрактно. Будем ее постепенно уточнять. Речь может идти о рационе питания коров на ферме, или о рационе для кур, или даже о диетическом питании человека. Представим себе, что нам необходимо, например, составить рацион питания коров.

Решение. Пусть имеется два вида корма (пищи). Известны их питательные свойства: калорийность, количество белков, жиров, витаминов и т.д. Мы взяли для простоты два вида корма, в общем случае их может быть любое количество. Пусть наиболее важными для откорма животных являются питательные вещества трех видов. Назовем их (например, белки, жиры, углеводы).

Рацион питания должен содержать не менее единиц питательного веществане менееединиц веществаи не менееединиц вещества. Единицы измерения могут быть различными: килограммы, граммы, литры, миллиграммы, (если речь идет, например о витаминах). Предположим, чтоi-й корм содержит единиц питательного вещества в одной единице корма.

Заметим, что мы уже начали строить математическую модель. Введение обозначений относится к одному из первых этапов составления математической модели. Обозначим через (i = 1, 2) количество корма i-го вида, которое мы планируем включить в рацион. Пару чисел () будем называть планом, что вполне естественно. План не может быть произвольным. Он удовлетворяет определенным требованиям. В программировании их принято называть ограничениями.

Во-первых, . Сколько питательного вещества будет в рационе, если мы примем план ()? Его количество равно. Эта величина по рекомендациям диетологов должна быть не менее . получаем ограничение в виде неравенства

Аналогично получаются два других ограничения, относящиеся к питательным веществам и .

Если диетологи не накладывают других ограничений на рацион, то мы получаем систему линейных неравенств

Пары чисел (), удовлетворяющие этим неравенствам, называютсядопустимыми планами.

Если не интересоваться наилучшими рационами питания, то мы уже построили математическую модель, которая имеет вид системы линейных неравенств и описывает множество допустимых рационов питания. Что же значит наилучший (оптимальный) способ питания (рацион питания)? Или дающий наибольший прирост веса? Все зависит от поставленной цели. Предположим, что мы хотим найти наиболее дешевый рацион. Если и - цены единицы первого и второго кормов, то задача будет заключаться в нахождении допустимого плана (рациона), при котором его стоимость будет минимальна. Стоимость рациона равна:

Полученная функция двух переменных называется функцией цели (целевой функцией).

Выписанные ранее неравенства вместе с целевой функцией составляют математическую модель в виде так называемой задачи линейного программирования:

Для решения этой и подобных ей задач разработан метод, называемый симплекс-методом. В рамках предлагаемого пособия задачи линейного программирования будем решать (когда это возможно) графическим методом. Он является очень наглядным и хорошо иллюстрирует все этапы решения задач методом математического моделирования.

Отметим еще раз этапы, которые были пройдены при построении математической модели.

1. Осмысление задачи, выделение наиболее важных для нас качеств, свойств, величин и параметров.

2. Введение обозначений.

3. Составление системы ограничений, которым должны удовлетворять введенные величины.

4. Формулировка и запись условий, которым должно удовлетворять искомое оптимальное решение.

Процесс моделирования не заканчивается составлением модели, а только им начинается. Составив модель, выбирают метод нахождения ответа, решают задачу.

Для этого часто применяют компьютерную технику. После того как ответ найден, сопоставляют его с реальностью. И возможно, что он вас не удовлетворит. Тогда придется видоизменять модель, уточнять ее, вводить дополнительные ограничения или даже выбирать совсем другую модель.

Например, в задачу о рационе питания мы не вводим никаких ограничений сверху на количество корма или количества пительных веществ, что, очевидно, должно быть сделано при построении более сложной модели. Если, например, общее количество корма не может превосходить величины d, то мы должны будем добавить к ограничениям-неравенствам еще одно ограничение:

Задача 5. (о планировании выпуска продукции пошивочного предприятия).

Намечается выпуск двух видов костюмов – мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат, на мужской костюм – 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человеко-дней трудозатрат. По плану предусматривается выпуск не менее 110 костюмов, причем необходимо обеспечить прибыль не менее 1400 тыс. рублей. Требуется обеспечить оптимальное (максимизируещее прибыль) количество костюмов каждого вида, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 тыс. рублей, а от реализации мужского – 20 тыс. рублей.

Решение. Пусть - число женских костюмов, а - число мужских. Прибыль от реализации женских костюмов составляет тыс. руб., а от реализации мужских костюмов - тыс. руб., т.е. требуется максимизировать целевую функцию:

Расход шерсти составляет , лавсана , , трудовых ресурсов Ограничения имеют вид:

- Ресурсы

- плановое задание

Мы составили модель в виде задачи линейного программирования.

Задача 6. (о кратчайших путях). На рисунке 2 изображена транспортная сеть, содержащая девять городов. Города соединены дорогами. Цифры в скобках показывают, сколько времени (в часах) занимает проезд по данной дороге. Требуется для каждой пары городов найти маршрут переезда в кратчайшее время.

Рис. 2

Решение. Данный рисунок является математической моделью в виде графа.

Граф - математический объект, изображаемый с помощью системы точек (вершин графа), которые соединены линиями, называемыми дугами или ребрами графа. Вершинам и ребрам (дугам) могут быть приписаны некоторые числовые характеристики. Графы изучают в математической дисциплине, носящей название теории графов.

В теории графов разработаны алгоритмы нахождения кратчайших путей для задач, подобных описанной выше.

Этот пример показывает, что математическая модель не обязательно имеет вид системы уравнений или неравенств. Здесь для моделирования применены графы.