Глава I. Знакомимся с математическим моделированием

§ 1. Зачем нужны модели?

Для ответа на поставленный в заглавии параграфа вопрос следовало бы сначала дать определение понятия «модель», которое имеет много разных значений. Чтобы лучше разобраться в этом, рассмотрим сначала примеры.

Фотографию человека можно назвать его моделью. Для того чтобы узнать человека в лицо, достаточно видеть его фотографию. Нам нет необходимости знать вес человека, его рост или социальное происхождение. От этих характеристик мы отвлекаемся.

Покупатель купил три товара стоимостью в 200, 346 и 3600 рублей. Он произвёл вычисление израсходованной суммы денег: 200 + 3600 + 346 = 4146. Это тоже модель. Причём модель математическая. Здесь интересуются только суммой потраченных денег и отвлекаются от таких сторон состоявшегося события, как время покупки, погодные условия в момент покупки и т.п.

Ещё пример. На грампластинке записаны русские песни в исполнении Федора Ивановича Шаляпина. Это тоже модель. Нас здесь интересуют, прежде всего, голос великого певца, содержание песен и те впечатления и переживания, которые мы испытываем при этом.

Что общего в этих примерах? Общее то, что во всех случаях модель в определенном смысле заменяла сам исследуемый объект. Вместо исходного объекта (оригинала) использовалась его модель (изображение).

Для чего же нужна замена самого исследуемого объекта моделью? Причины могут быть разными. Сам оригинал порой бывает, недоступен (пример с грампластинкой), или его использование нецелесообразно, или привлечение оригинала слишком дорого обойдется.

Возьмем такой пример. Изучается новая методика обучения. Для ее изучения создали экспериментальную школу (серию школ), где данная методика внедрена. Это модель системы обучения. Работая с этой методикой, получают опыт работы по новой системе обучения, выясняют ее достоинства и недостатки и лишь после этого рекомендуют к применению во всех школах области, района, страны.

Различные экономико-математические модели создаются и изучаются потому, что производить эксперименты с экономикой очень сложно, а часто и невозможно. В отсутствии предварительного анализа экономической ситуации такие эксперименты могут привести к весьма негативным последствиям (как к экономическим, так и социальным).

Архитектор создал макет застройки нового жилого района. Он обсуждает этот проект с коллегами и руководством города. Они могут одним движением руки переместить «высотное здание» из одной части района в другую, «передвинуть» будущий парк и т.д. В реальности это было бы невозможно.

А.В. Суворов перед штурмом Измаила проводил тренировки своих солдат на специально подготовленных фортификационных сооружениях. Это была модель будущих боевых действий. Здесь производилось обучение солдат штурму крепости.

Приведем несколько примеров математических моделей. Подробнее математические модели будут изучаться в следующих параграфах.

Формула из физики связывает время t и пройденный путь S свободно падающего тела, константа g- ускорение свободного падения в данной точке местности. Эта математическая модель имеет вид уравнения. На гладком столе (считаем, что трением можно пренебречь) лежит металлический шарик, прикреплённый к пружине. В начальный момент пружина не напряжена. Сожмем пружину. Тогда в соответствии с законом Гука на шарик действует упругая сила, пропорциональная смещению шарика, если это смещение невелико.

Обозначим через х смещение шарика, через m – его массу. Тогда для этого шарика можно написать второй закон Ньютона:

,

где - ускорение (вторая производная смещенияx)*, а k – коэффициент, описывающий упругие свойства пружины. Это математическая модель колебаний шарика в виде дифференциального уравнения. Решениями этого уравнения будут функции вида

Цель – заменить объект моделью, чтобы производить некоторые действия, которые с самим объектом производить нельзя. Другая цель – представить объект в виде, наиболее удобном для обозрения, и т.д. Мы видим, что сами модели могут иметь разный вид. Могут быть материальными, как макет застройки жилого района, или символическими, т.е. изображаются в виде формул, графиков и т.п.

В любом случае модель строится с целью узнать про объект что-либо новое или сохранить об объекте информацию, которая может стать недоступной в будущем.

Как правило, процесс изучения, связанный с использованием моделей и называемый моделированием, не заканчивается созданием одной модели. Построив модель и получив с ее помощью какие-либо результаты, соотносят их с реальностью. И если это соотношение дает неудовлетворительные результаты, то в построенную модель вносят коррективы или даже создают другую модель.

В случае достижения хорошего соответствия с реальностью выясняют границы применимости модели. Возьмем пример с колебанием шарика. Если пружину растянуть очень сильно, она разрушится, в этом случае мы не можем применить нашу модель. Кроме того, мы не учитывали трение. Если его учитывать, то можно придти к более сложной модели, тоже имеющей вид дифференциального уравнения.

Моделью будем называть материальный или идеальный объект, который строится для изучения исходного объекта (оригинала) и который отражает наиболее важные качества и параметры оригинала.

Процесс построения моделей называют моделированием. Очень важным является вопрос о возможности применения данной модели. Этот вопрос решается путем сравнения модели с оригиналом, путем сравнения предсказаний, полученных с помощью модели, и объективной реальностью.

Если это сравнение дает удовлетворительные результаты, то модель принимают на вооружение. Если нет, приходится создавать другую модель, которая дает лучшее соответствие с оригиналом, о чем уже упоминалось выше.

Модели можно разделить на материальные и идеальные. Примерами материальных моделей служат фотографии, макет застройки района и т.д. Идеальные модели часто имеют знаковую форму. Реальные понятия заменяются при этом некоторыми знаками, которые уже можно легко зафиксировать на бумаге, в памяти компьютера, в виде текста, графика, таблицы и т.д.