Задания

1. Найдите значения функций при заданных значениях независимых переменных:

а)

б)

в)

г)

2. Определите., как изменится значение функции

если и

а) К увеличить нa 3 единицы;

6) L уменьшить на 1 единицу;

в) К увеличить в 2 раза при неизменном значении другой переменной.

А если затраты обоих ресурсов одновременно

г) уменьшить в 4 .раза;

д) увеличить в 3 раза;

е) увеличить на 3 единицы?

3. Процесс производства описывается с помощью степенной функции выпуска

а) как следует изменить затраты К, чтобы компенсировать уменьшение L на 50%? (Уровень выпуска при этом сохраняется.)

б) на сколько процентов уменьшатся затраты К при увеличении L на 25%?

4. Для функции из задания 3 установите:

а) как изменится выпуск, если затраты обоих ресурсов увеличить в 2 раза (уменьшить в 3 раза)?

б) во сколько раз надо увеличить затраты L, чтобы компенсировать уменьшение К в 4 раза?

§ 6. Способы задания функций двух незави­симых переменных. Область определения

Функции нескольких переменных могут задаваться с помощи одной или нескольких формул, как это имело место во все рассмотренных в § 1 примерах. Такой способ задания называете аналитическим.

Приведем еще примеры аналитического задания функций.

Пример 1.

Пример 2.

Если зависимая переменная z не выражена явно через аргу­менты х и у, а связь между х, у и z описана формулой вида

Ф (х ,у, z) = 0.

то будем говорить о неявном задании функции двух переменных x и у.

Пример 3.

Пример 4.

В§ 1 говорилось о допустимых значениях независимых пере­менных. Это понятие связано с конкретным смыслом, который вкладывается в переменные. Но не только этим определяются границы изменения переменных. Так, в примере 1 значение функции может быть найдено только для тех пар значений аргу­ментовх и у, которые удовлетворяют неравенству:

Не для любых х и у существует значение функции z и в примере 2.

Множество упорядоченных пар допустимых значений х и у, для которых существует вполне определенное значение z, будем называть областью определения функции

z = f(x , y).

Если на плоскости задана некоторая прямоугольная декарто­ва система координат, то каждая упорядоченная пара чисел имеет смысл координат точки плоскости. Область определения функции D. состоит из точек плоскости, для координат которых имеет смысл выражение z = f(x, у).

Найдем область определения для функции

и изобразим ее на плоскости.

Главаiii. Линейные балансовые модели в экономике

§ 1. Понятие о межотраслевом балансе Предварительные замечания

Балансовая модель производства является одной из наиболее простых математических моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производи­мой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребно­стью в этом продукте. Отсюда происходит название модели. Под экономическим объектом обычно понимают так называемую «чистую отрасль». Что же такое «чистая отрасль»?

Известно, что многие машиностроительные заводы по­мимо основной продукции производят литье, занимаются тер­мической обработкой металлов, обработкой металлов давлени­ем и др. Перечисленные виды продукции не соответствуют профилю машиностроительной отрасли. Они относятся к ме­таллургии. В то же время металлургические заводы име­ют цеха или участки, производящие непрофильную продукцию. Поэтому, чтобы правильно отразить взаимосвязи между ма­шиностроением и металлургией, необходимо исключить про­дукцию металлургической и других отраслей из продукции машиностроения, а в продукции металлургической промыш­ленности не учитывать произведенные на металлургических заводах продукты машиностроения и других отраслей. Heпрофильную продукцию каждого предприятия следует учесть при определении объема- продукции соответствующей ей отрасли.

Итак, продукция «чистой отрасли» складывается из продукции специализированных предприятий, очищенной от непрофильных ее видов, и продукции, соответствующей профилю данной отрасли, но произведенной на предприятиях, относящихся другим отраслям. Под «чистой отраслью» (в отличие от обычно понимания отрасли как совокупности родственных предприятий) понимают производство определенного вида продукции или группы однородных видов продукции.

Под экономической системой будем понимать совокупность взаимосвязанных, взаимозависимых отраслей. Экономическая систёма можёт включать в себя все отрасли материального производства либо часть из них. Балансы межотраслевого типа могут строиться не только для экономики страны в целом, но и для отдельных экономических районов. Производственные связи между районами могут быть описаны в межрайонных балансах.

Немного истории

Впервые балансовые модели начали использоваться в СССР в 20-х годах. В более или менее законченном виде теория балансовых моделей была разработана американским ученым В. В. Леонтъевым в середине 30-х годов. Однако в те годы ни уровень развития математической науки, ни качество вычислительной техники не позволили широко распространить балансовый метод. Большая заслуга разработке и внедрении балансовых моделей прин0длежи советскому академику В.С.Немчинову. В 1960 году под его руководством возобновилась работа по составлению межотраслевых балансов.

За разработку и внедрение в практику метода межотраслевого баланса группа советских экономистов под pyководством академика А. Н. Ефимова в 1968 году была удостоена на Государственной премии СССР. В настоящее время большое число работ посвящается этой модели и ее применению для решения различных задач. Такой интерес к балансовой модели определяется тем, что, как оказалось, эта модель хорошо отражает многие существенные особенности современного производства и в то же время легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для экономического анализа, планирования и прогнозирования.

Межотраслевой баланс

Балансовые модели основываются на понятии межотраслевого баланса, который представляет собой таблицу, характеризующую связи между отраслями (экономическими объектами) экономической системы.

Предположим, что экономическая система состоит из п взаимосвязанных отраслей Р1,Р2,…,,Рn Валовой продукт i-й отрасли обозначим через Xi (Х1 — валовой продукт Р1,Х2 — валовой продукт Р2,… Хn — валовой продукт Рn). Конечный продукт каждой отрасли обозначим буквой Y с индексом, соответствующим ее номеру (Y3 — конечный продукт Р3). Отрасли взаимосвязаны, т.е. каждая из них использует продукцию других отраслей в качестве сырья, полуфабрикатов и т. п.

Пусть Хij — затраты продукции i-й отрасли на производство продукции Рj. Условно чистую продукцию j-и отрасли обозначим Vj.

Если перечисленные показатели представлены в межотраслевом балансе в тоннах, литрах, километрах, штуках и т. д., то говорят о межотраслевом балансе в натуральном выражении. Мы же договоримся, что под Xi, Yj Vj. и Xij, будем понимать сраженную в некоторых фиксированных ценах стоимость соответствующей продукции. Такой баланс называется стоимостным.

Всю информацию об экономической системе сведем в таблицу — межотраслевой баланс (таблица).

Таблица - Анализ общей структуры межотраслевого баланса

Отрасли			…			…			Итого	Конечный	Валовый продукт
…					І квадрант				II квадрант
…
Итого
Условно чистая продукция										IV квадрант
				III квадрант
Валовой продукт

Первый квадрант. В таблице каждая отрасль представлена двояким образом. Как элемент строки, она вступает в роли поставщика производимой ею продукции, она как элемент столбца - в роли потребителя продукции других отраслей экономической системы.

Если - производство электроэнергии, а -угольная промышленность, то -годовые затраты электроэнергии на производство угля, а -аналогичные затраты угля на производство электроэнергии. выступает как поставщик электроэнергии и как потребитель угля. Отрасль является также потребителем собственной продукции. Электроэнергия стоимостью денежных единиц используется внутри отрасли на обеспечение работы электротехники, на освещение производственных помещений и т. д. Аналогичный смысл имеет и все .В общем случае, ,,…,,- объемы поставок продукции i-й отрасли отраслями, входящим в экономическую систему. Сумма этих поставок

++ … +=

выражает суммарное производственное потребление продукции и записывается в i-й строке (n+1)-го столбца таблицы. В нашем примере

есть суммарное производственное потребление электроэнергии, а

-суммарные затраты угля на производственные нужды отраслей, входящих в экономическую систему.

Посмотрим теперь на как на элемент столбца. В столбце с номером i расположены объемы текущих производственных затрат продукции отраслей, входящих в экономическую систему, на производство продукции i-й отрасли. В (n+1)-й строке указанного столбца записана сумма текущих производственных затрат за год:

Просуммировав первые n элементов (n+1)-й строки, получим величину текущих производственных затрат всех отраслей:

(1)

Сумма первых n элементов (n+1)-го столбца

(2)

есть стоимость продукции всех отраслей, которая была использована на текущее производственное потребление.

Нетрудно убедиться в том, что суммы (1) и (2) состоят из одних и тех же слагаемых (всех ) и поэтому равны между собой:

(3)

Равенство (3) означает, что текущие производственные затраты всех отраслей равны их текущему производственному потреблению. Число есть так называемый промежуточный продукт экономической системы.

Элементы, стоящие на пересечении первых n+1 и первых n+1 столбцов, образуют первый квандрант (четверть). Это важнейшая часть межотраслевого баланса, поскольку именно в ней содержится информация межотраслевых связях.

Второй квадрант расположен в таблице справа от первого. Он состоит из двух столбцов. Первый из них - столбец конечного потребления продукции отраслей. Под конечным потребления понимают личное и общественное потребление, не идущие на текущие производственные нужды. Сюда включают накопление и возмещение выбытия основных фондов, прирост запасов, личное потребление населения, расходы на содержание государственного аппарата и оборону, затраты по обслуживанию населения (здравоохранение, просвещение и т.д.), сальдо экспорта и импорта продукции. Во втором столбце представлены объемы валовой продукции отраслей. Суммарный (валовой) выпуск i-й отрасли определяется как

(4)

Равенство (4) означает, что вся произведенная i-й отраслью продукция потребляется. Часть ее, в форме суммарного производственного потребления продукции идет на производственные нужды отраслей, входящих в экономическую систему. Другая часть потребляется в форме конечного продукта.

Так, часть продукции угольной промышленности, как мы уже отмечали, используется внутри экономической системы, а другая - в качестве сырья, топлива - будет потреблена отраслями, не вошедшими в состав экономической системы, и составит часть экспорта страны, пойдет на отопление жилищ и т.п.

Квадранты I и II отражают баланс между производством и потреблением.

Ко второму квадранту относится также и та часть (n+1) - й строки, в которой расположены суммарный конечный продукт

И суммарный валовой продукт

Третий квадрант расположен в таблице под первым. Он состоит из двух строк. Одна из них содержит объем валового продукта по отраслям,а другая - условно чистую продукцию отраслей В состав условно чистой продукции входят амортизационные отчисления, идущие на возмещение выбытия основных фондов, заработная плата, прибыль и т.д.

Она определяется как разность между валовым продуктом отрасли и суммой ее текущих производственных затрат. Так для имеет место равенство

или

(5)

Первый и третий квадранты отражают стоимостную структуру. продукции каждой отрасли. Так равенство (5) показывает , что стоимость валового продукта i - й отрасли складывается из стоимости той части продукции отраслей системы, которая была использована для производства из амортизационных отчислений, затрат на оплату труда , из чистого дохода отрасли, из стоимости ресурсов, ре производящихся внутри экономической системы ,и т.д.

Используя равенства (4) (5),подсчитаем суммарный валовой продукт.

Из (4) следует, что

(6)

а из (5) получаем:

(7)

Вторые слагаемые в правых частях равенства (6) и (7) выражают одну и ту же величину - промежуточный продукт. Отсюда и из равенства левых частей (6) и (7) делаем вывод о равенстве первых слагаемых:

(8)

Итак, суммарный конечный продукт равен суммарно условно чистой продукции.

Четвертый квадрант непосредственного отношения к сфере производства не имеет, поэтому мы его заполнять не будем.

В IV квадранте показывается, как полученные в сфере материального производства первичные доходы населения (заработная плата, личные доходы членов кооперативов, денежное довольствие военнослужащих и т.д.), государства (налоги прибыль с производства государственного сектора и т.д.), кооперативных и других предприятий перераспределяются через различные каналы (финансово-кредитную систему, сферу обслуживания, общественно- политические организации и т.д.), в результате чего образуются конечные доходы населения, государства и т.д.

Выводы:

1. Межотраслевой баланс - это таблица, характеризующая связи между экономическими объектами, входящими в экономическую систему.

2. Различают межотраслевой баланс в натуральном и стоимостном выражении.

3. Межотраслевой баланс состоит из четырех квадрантов. I квадрант - его важнейшая часть. В нем содержится информация о межотраслевых связях.

4. Вся произведенная внутри экономической системы продукция потребляется. Часть ее в форме суммарного производственного потребления идет на производственные нужды отраслей, входящих в экономическую систему. Другая часть потребляется в форме конечного подукта.

5. I и II квадранты отражают баланс между производством и потреблением.

6. I и III квадранты отражают стоимостную структуру продукции каждой отрасли.

7. Суммарный конечный продукт равен суммарной условно чистой продукции.

8. Межотраслевой баланс был построен по данным отчетного периода ( например, истекшего года).

9. С построением балансовой таблицы завершается первый этап решения задачи методом математического моделирования: выявлены объекты изучения, установлены существенные связи между ними, собрана статистическая информация.

Основные соотношения

1. 

- баланс между производством потребления.

2. 

_{- стоимостная структура продукции i-й отрасли.}

3. 

-равенство суммарного конечного продукта и суммарной условно чистой продукции.

4. 

• промежуточный продукт экономической системы.

Пример.

Завершим составление баланса, располагая следующими данными об экономической системе, состоящей из трех экономических объектов (например, - промышленность,- сельское хозяйство, транспорт). Прочерки в таблице означают, что.

Отрасли					V	X
	20 10 -	50 -	40		200 240	300 500
				310
V		390
X

Решение.

1. Используем баланс между производством и потреблением продукции для отыскания, а затем и:

,

.

2. Аналогично, использую баланс между производством и потреблением продукции , найдем, предварительно подсчитав

: .

3. Значения изапишем на первых двух местах в последней строке таблицы (строкаX).

Таблица примет вид:

Отрасли					Y	X
	20 10 -	50 -	30 40	100 50	200 450 240	300 500
				310
V		390
X	300	500

4.Найдем теперь

( использовали соотношение между элементами столбца ).

5.

(использован баланс между производством и потреблением продукции ).

6. Теперь запишем величину X₃ в столбец Х и строку Х.

7. Суммарные затраты всех отраслей на производство продукции первой отраслизапишем на первом месте в строке.

8. Теперь можно найти условно чистую продукцию V₁ как разность между валовым выпуском X₁=300 и суммарными затратами :

V₁=300-30=270.

Таблица примет вид

Отрасли					Y	X
	20 10 -	50 -	30 40	100 50 160	200 450 240	300 500 400
	30			310
V	270	390
X	300	500	400

Осталось совсем мало "белых пятен".

9. Из равенства между суммарным конечным продуктом и суммарной условно чистой продукцией

получаем величину

.

9. Теперь, когда строки V и X полностью заполнены, можно определить суммарные затраты на производство продукции второй и третьей отраслей:

,

.

9. Завершит составление баланса вычисление затрат продукции третьей отрасли на производство продукции Р₂ и на собственные производственные нужды Р₃:

,

.

Окончательно получаем

Отрасли					Y	X
	20 10 -	50 - 60	30 40	100 50 160	200 450 240	300 500 400
	30	110	170	310
V	270	390	230
X	300	500	400

Вопросы:

Возможны ли другие способы заполнения балансовой таблицы. Какие?

Какой результат ожидаете вы получить, выбрав другой способ решения задачи? Почему?