Имеем приближенное равенство

(4)

(см. рис. 7).

Из (3) и (4) следует важное приближенное равенство

(3)

Отношение показывает, на сколько должен индивидуум увеличить (уменьшить) потребление второго продукта, если он уменьшил (увеличил) потребление первого продукта на одну единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей

(Это обстоятельство геометрически интерпретируется так: точки принадлежат одной и той же линии безразличия (см. рис.7).) Поэтому дробь принято называтьнормой замены первого продукта вторым на потребительском наборе , а производную -(которая равна предельному значению дробипри ) - предельной нормой замены первого продукта вторым.

Примером функции полезности может служить функция

(6)

где

Действительно, имеем

т.е. выполнены свойства 1') и 2') функции полезности. Свойство 3') не выполнено, так как смешанные вторые частные производные функции равны нулю.

Задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора , который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, т.е. , гдеи - рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов соответственно, а I - доход индивидуума, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов. Величины , и I заданы.

Формально задача потребительского выбора имеет вид:

при условиях (7) (7)

,

.

Допустимое множество (то есть множество наборов благ, доступных для потребителя) представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой (см. рис. 9.3). На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности. Поиск этой точки можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии все более высокого уровня полезности (вправо - вверх) до тех пор, пока эти линии еще имеют общие точки с допустимым множеством.

§2. Решение задачи потребительского выбора и его свойства

Вначале остановимся на некоторых важных свойствах задачи потребительского выбора. Во-первых, решение задачи сохраняется при любом монотонном (то есть сохраняющем порядок значений) преобразовании функции полезности. Поскольку значение было максимальным на всем допустимом множестве, оно остается таковым и после монотонного преобразования функции полезности (допустимое множество, определяемое бюджетным ограничением, остается неизменным). Таким монотонным преобразованием может быть умножение функции полезности на некоторое положительное число, возведение ее в положительную степень, логарифмирование по основанию, большему единицы. Отметим, что свойство 1) должно присутствовать у любой функции полезности; свойства 2) и 3) могут при ее монотонных преобразованиях теряться или приобретаться (рассмотрите это самостоятельно на примере функции. Последнее важно для иллюстрации того факта, что если функция полезности в задаче потребительского выбора не обладает свойствами 2) или 3), это вовсе не означает, что данная задача не может описывать реальное поведение потребителя.

Во-вторых, решение задачи потребительского выбора не изменится, если все цены и доход увеличиваются (уменьшаются) в одно и то же число раз .

Это равнозначно умножению на положительное число обеих частей бюджетного ограничения , что дает неравенство, эквивалентное исходному. Поскольку ни цены, ни доходI не входят в функцию полезности, задача остается той же, что и первоначально.

В приведенной постановке задача потребительского выбора является задачей нелинейного программирования - см. главу 8, раздел 3. Однако если на каком-то потребительском наборе бюджетное ограничение будет выполняться в виде строгого неравенства, то мы можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор , максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, т.е.. Графически это означает, что решение задачи потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой (см. рис. 8), которую удобнее всего провести через точки пересечения с осями координат, где весь доход тратится на один продукт: и .

Мы также будем считать, что в оптимальной точке условия выполняются автоматически, вытекая из свойств функции . Как правило, это действительно так. В то же время, если условия неотрицательности переменных не включать в явном виде в условие задачи, то она становится существенно проще с математической точки зрения.

Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум (ибо решение этих двух задач одно и то же)

при условии (8)

Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа.