1.1.2. Понятие математической модели.

Математическая модель в общем смысле является, множеством символических математических объектов и отношений между ними. Математическая модель будет воспроизводить выбранные стороны развивающейся системы, если будут установлены правила соответствия, связывающие специфические объекты и отношения системы с определенными математическими объектами и отношениями. Модель это система, отражающая другую систему.

Одно из более детальных определений математических моделей, удобных для описания многих объектов и характеристик качества самих моделей, пусть нас интересует вектор состояний R некоторого объекта О, причем известны такие функция R=R(I) и множество М, что

,

с вероятностью p, где -идеальные значения соответственно состоянийR и признаков I, от которых зависит R (но R зависит не только от I, - известные положительные числа,- меры близости в пространстве состояний и признаков. Тогда будем говорить, что имеется строгая математическая модель О по отношениюR. Пусть размерность вектора I есть n. Если указан способ выбора n= и соответствующих признаков I, которые обеспечивают соотношение с любыми наперед заданными значениями, причем при, то будем говорить, что имеется достаточно точная стохастическая модель по отношению к состояниюR. При p=1 имеем достаточно точную детерминированную модель.

Для динамических моделей в число признаков I обычно входит время t.

В настоящее время для многих объектов (в первую очередь биологических) еще нет строгих и достаточно математических моделей.

Новые цели исследований приводят к появлению новых классов динамических моделей, таких как логико-дифференциальные, использующие (например, для описания биосинтеза белка аппарат математической логики, теории вероятностей и дифференциальных уравнений; детерминированно-стохастические, использующие аппарат общей алгебры теории вероятностей; метод фазового укрупнения сложных систем; интегральные, использующие интегральные уравнения и функциональный анализ; L-модели, основанные на теории языков и др.

В связи с наметившимся направлением появления новых классов динамических моделей здесь целесообразно привести высказывания А.Г. Куроша: «В соответствии с общими тенденциями современной науки (например, физики) новые объекты изучения, новые теории будут появляться здесь (в общей алгебре) не с перерывами в десятилетия, а все чаще и чаще.

Появление нового класса интегро - функциональных моделей, традиционно связанного с интегральными уравнениями вольтеровского типа, было обусловлено необходимостью учета процесса ликвидации устаревших технологий, рассмотрения подсистем самовоспроизводства внешнего продукта в РС, а также необходимостью описания разнообразных специальных свойств развивающихся систем, часть из которых приведена выше. Таким образом, появилась практическая необходимость создания модели, в рамках которой не только можно было бы получить каждое из свойств в отдельности, но и вне рамок которой нельзя было бы их объяснить и понять в совокупности. Этот класс моделей естественным образом требует доказательства достаточной для практики адекватности модельных функций соответствующим экспериментальным данным, требует указания ограничений на область их применимости.

Многие исследования, проводимые в настоящее время, необходимо связаны с такими основными этапами, как формулировка постулатов и гипотез – разработка математической модели объекта управления – постановка задач – определение измеримых параметров объекта – разработка плана экспериментальных работ – определение методов, алгоритмов, программно-технических средств моделирования – оценка принципиальной возможности достижения цели за требуемый период – определения цены моделирования при фиксированном объеме предварительной алгоритмизации – определение адекватности модели и др. Основным этапом является не столько создание модели объекта, сколько доказательство достаточной ее адекватности. В конечном счете это дает возможность открывать новые свойства и закономерности изучаемого объекта с помощью созданной модели. В связи с этим последующий материал настоящей главы будет состоять из описания некоторых классических динамических моделей, явившихся отправным пунктом в развитии разрабатываемого в настоящей монографии аппарата интегро-функциональных моделей. Также будет проведен сравнительный анализ с другими способами описания динамических систем, будут рассмотрены некоторые подходы к созданию простейших (базовых) и усложненных моделей, наделенных свойствами развивающихся систем. Кроме того, будут проведены сопоставительные анализы предлагаемого класса моделей с известными подходами в экономической и биологической кибернетике.