2.2. Некоторые примеры модели.

2.2.1. Классические модели.

Модели по В. Леонтьеву. Этот класс моделей относится к моделям типа «затраты – выпуск», где уровень выпуска каждого продукта пропорционален его суммарным затратам во всех других отраслях. Основными элементами и параметрами модели являются матрица нормативов прямых затрат, полный (валовой) выпуск продуктов за единицу времени, запас продуктов и чистый выпуск продуктов за единицу времени.

Модели неймановского типа. В этом классе моделей учитывается возможность совместных выпусков продуктов некоторыми производственными процессами, а каждый производственный процесс использует некоторое сырье, ресурсы и т.п. В модель входят матрица выпуска и затрат, вектор интенсивностей производственноых процессов, уровень запаса продуктов и ассортиментного набора продуктов.

Модели по Р. Харроду. Модели данного классам описывают динамику макроэкономики. Накопление и потребление составляют постоянную долю в национальном доходе, а рост производственных фондов зависит от темпа роста капиталовложений. В моделях учитываются национальный доход, объем потребления, объем накопления, инвестиции (капиталовложения), капитал (производственные фонды).

2.2.2 ПИ-модели.

Дальнейшим развитием леонтьевской модели является ПИ-модель развития производства. Эта модель предназначена для решения ряда экономических задач в условиях расширения производства и перестройки его структуры. Другими словами , ПИ-модель хорошо приспособлена для описания макроэкономики как развивающейся системы и в силу этого представляет особый интерес для данной работы. В частности, многие из особенностей ПИ-модели могут быть использованы и могут оказать существенную помощь при решении экономических задач в рамках динамических моделей, предлагаемых в настоящей работе.

В ПИ-модели на экономическую систему не накладывается требования полной нагрузки производственных мощностей, полной занятости, полного использования свободного продукта и заданного уровня потребления, обычно имеющие место в других моделях. Вместо них вводятся следующие более слабые гипотезы:

1. выпуск совокупного продукта ограничен имеющимися мощностями и трудовыми ресурсами;

2. свободный продукт используется на инвестиции, перестройку мощностей и на создание запасов;

3. потребление не может быть меньше некоторого заданного уровня.

Существует ряд вариантов ПИ-модели, связанных с учетом промышленных лагов, детализацией процесса создания новых мощностей и т.д. Первоначально ПИ-модель была описана конечно-разностными соотношениями, для которых в дальнейшем были предложены непрерывные аналоги. Поскольку в данной книге в основном используется непрерывная форма записи динамических систем, то ниже приведена простейшая, непрерывная ПИ-модель описываемая следующими уравнениями:

X(t)=A(t)x(t)+y(t),

y(t)=B(t)

где X – вектор валовых выпусков в единицу времени, А – технологическая матрица, Y – вектор спроса в единицу времени, v- вектор производственных мощностей, В – матрица фондоемкости, - вектор запасов продуктов, с – потребление в единицу времени. Функцииv, , с можно рассматривать как управление. Приведенные выше гипотезы накладывают следующие ограничения на функции модели:

где - количество трудовых ресурсов, а₀(t) характеризует прямые затраты труда, с₀(е) – гарантированный уровень потребления. При t=0 задана структкра производственных мощностей:

v(0)=v₀

В рамках этой модели можно ставить различные оптимизационные задачи, например задачу перестройки структуры экономики на заданном отрезке времени [O,T] при одновременной максимизации уровня потребления:

v(T)= v_T,

Постановки, близкие к этой задаче, возникают и в рамках предлагаемого класса динамических моделей, некоторые результаты их исследования приведены ниже.

В заключении отметим, что по сравнению с ПИ-моделями в рассматриваемых в данной работе динамических моделях введена одна важная модификация, а именно, структура производственных мощностей детализирована по времени их создания, что позволяет проводить более глубокую оптимизацию функционирования мощностей с учетом их амортизации и роста производительностей вследствие научно-технического прогресса. Это приводит к существенному усложнению привлекаемого математического аппарата.