17.Тензор напряжений в идеальной жидкости. Потенциальное движение

В несжимаемой идеальной жидкости, где div v ≡ 0, тензор вязких напряжений имеет вид

а тензор напряжений

На первый взгляд отсюда можно было бы сделать следующий вывод. Рассмотрим стационарное обтекание какого-либо тела потоком жидкости. На бесконечности натекающий поток однороден; его скорость v = const, так что rot v ≡ 0 на всех линиях тока. Отсюда можно было бы заключить, rot v будет равен нулю и вдоль всей длины всех линий тока, т. е. во всем пространстве.

Движение жидкости, при котором во всем пространстве rot v = 0, называется потенциальным (или безвихревым) в противоположность вихревому движению, при котором ротор скорости отличен от нуля. Таким образом, мы пришли бы к результату, что стационарное обтекание всякого тела натекающим из бесконечности однородным потоком должно быть потенциальным.

18. Динамика идеальной жидкости. Теоремы Томсона и Гельмгольца.

Теорема Кельвина (В. Томсона) о циркуляции скорости: При баротропном течении идеальной жидкости под действием поля

массовых сил с однозначным потенциалом циркуляция скорости

по замкнутому жидкому контуру не изменяется.

Или: Если силы, действующие в баротропной жидкости, име-

ют потенциал, то циркуляция скорости по любому жидкому кон-

туру не изменяется с течением времени:

Теорема разложения Гельмгольца — утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты:

Если дивергенция и ротор векторного поля определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля : где для всех точек области V.

19.Парадокс Даламбера.

Парадокс Даламбера: сопротивление Fx тела, равномерно движущегося в идеальной безграничной жидкости, равно нулю (как и подъемная сила Fy).

Строгого доказательства приводить не будем, отметим очевидность

этого явления для тел симметричной формы типа цилиндра, шара, эллипсоида — струйки тока расступаются на обращенной против потока

поверхности, и картина эта в точности повторяется и на задней поверхности (в правом полупространстве на рис. НЕТ). Распределение гидро-

динамических давлений по поверхности симметрично, интеграл силы равен нулю. При этом на поверхность тела не действуют касательные напряжения; в объеме потока не протекают процессы диссипации энергии и ее волнового перераспределения по пространству, поэтому при относительном перемещении тела в такой жидкости и не должна совершаться работа, следовательно, сопротивление равно нулю. В силу фундаментальности подобных оснований нет причин, чтобы для тел иной формы, по крайней мере, лобовое сопротивление имело бы место. При нарушении хотя бы одного из указанных выше условий равенство нулю исчезает:

• вязкость — возникнут касательные напряжения, вязкая диссипация энергии в объеме;

• сжимаемость—возникнут упругие возмущения (волны), уносящие

энергию;

• свободная поверхность или границы-стенки —возникнут поверх-

ностные волны и ???;

• нестационарность — потребуется энергия на распространение

возмущения (разгон) слоев жидкости;