58.Параметры и газодинамические функции нестационарного торможения.

Газодинамические функции нестационарного изоэнтропного

торможения. Найдем аналитическую связь между параметрами однородного потока и параметрами в простых ВКА, которые возникают, если в некоторый момент в потоке устанавливается тонкая перегородка (рис. 12.4).Перегородка приводит к возникновению возмущений в виде двух

простых ВКА, расходящихся с течением времени от места ее постановки. Одна из волн будет центрированной волной разрежения (ЦВР), все

характеристики во фронте – лучами, выходящими из точки x0, t), как из центра); протяженность фронтаЦВР увеличивается линейно во времени (см. рис. 12.4). Навстреч потоку распространяется волна сжатия (ВС) с фронтом в виде скачка уплотнения, на котором оба инварианта Римана (I±), а также энтропия s терпят разрыв.

Пренебрегая ростом энтропии на фронте ВС (что допустимо для

скачков уплотнения малой интенсивности), можно связать параметры по обе стороны фронта соотношениями для простой изоэнтропной ВКА;

тогда в дальнейших выкладках знаки волн не будут иметь значения.

Обозначим параметры состояния частиц совершенного газа, неста-

ционарно заторможенного обеими волнами как сcⁱ′1, p′′1, 1 , p′′1 (слева от перегородки), cс′1, p′1, T′1 , p′ (справа от нее) и их скорость u′′1 = u′1 =uп= 0.

При переходе через фронт волны, распространяющейся вправо

(рис. 12.4), не изменяются инвариант Римана I+ и энтропия s. На основании этого определяется скорость звука в газе, нестационарно заторможенном этой волной:

Полученo отношение скорости звука в потоке к скорости звука при

полном нестационарном торможении однородного потока волной, движущейся влево, в функции числа M этого потока и отношения теплоемкостей ϒ . С привлечением уравнений изоэнтропы связь других параметров нестационарного торможения волной

(где M′′ = 0) со статическими

параметрами до волны принимает вид (индексы опускаем):

Приведенные соотношения, имеющие вид газодинамических

функций нестационарного изоэнтропного торможения, полезны

для компактной записи математических моделей взаимодействия нестационарного потока со «связными» элементами трубопроводов типа местных сопротивлений и др.

Отметим, наконец, что при последующем исчезновении перегород-

ки (рис. 12.4) искусственный разрыв параметров, созданный ею, распадется и в возмущенной этим событием зоне термодинамические параметры и скорость вернутся к исходным параметрам невозмущенного потока 1. Знаки образующихся при этом простых волн противоложны знакам волн, возникших при появлении перегородки2. В этом нетрудно убедиться, пороследив за характеристиками, прибывающими в некото-

рую точку этой новой зоны 1 (на рис. 12.4 не показана).

59.Волны конечной амплитуды (вка). Простые и изоэнтропные вка. Соотношения при переходе через фронт изоэнтропной вка.

Введем понятие волны конечной амплитуды (ВКА), как такого возмущения в газе, сопровождающегося конечным изменением скорости частиц u и параметров состояния среды—p, T и др. В отличие акустических волн, в которых диапазон изменения давлений _p составляет до 10−4 . . . 10−2 Па, и которые распространяются по газу со скоростью звука c, при движении ВКА локальные скорости распространения элементарных возмущений составляют u ± c (для упругих возмущений) и u (для элементарных волн вещества). Что важно,

в при движении ВКА скорости элементарных возмущений претерпевают существенные изменения по длине волны, что вызывает изменение ее профиля (нелинейность процесса). Удобный объект для изучения особенностей ВКА в каналах—уединенная ВКА. Определим ее как возмущение одного из инвариантов Римана над «фоновым» его значением в однородном, как частный случай—в неподвижном газе. Такое возмущение легко задать либо в НУ, либо

в ГУ. Как показано выше, если (а) закон возмущения I+ или I− гладкий, (б) сечение канала постоянное, (в) течение — адиабатное (qw = 0) и (г) нет трения о стенку (_w = 0), то вначале возникнет изоэнтропная ВКА сжатия или разрежения (движущаяся вправо при возмущении I+ или влево, при возмущении I−). Знак возмущения I+ или I− определяет «знак» получающейся ВКА — так, при I+ < I+0 получается волна разрежения т. д. Данное «правило знаков» легко получается из выражений для скорости звука и скорости потока в любой точке (x, t) через инварианты Римана.

Изоэнтропная уединенная ВКА (УВКА) переносит массу и энергию. Перенос массы связан с тем, что с приходом волны частицы газа вовлекаются в движение и в итоге перемещаются на конечную величину, испытывая обратимое сжатие и расширение, а после «спада» волны остаются в покое, с параметрами состояния, равными «фоновым». Хвост и голова волны вначале движутся со скоростью звука по «фоновому» газу

Сотношения на фронтах. Полученные выше газодинамические функции отличаются от соответствующих ГДФ для параметров стационарного торможения уже тем, что потоку в каждом сечении соответствуют две группы параметров нестационарного торможения (ясно из рис. 12.4). Кроме того, функции для нестационарного торможения не следуют из законов сохранения для стационарного потока, а являются аналогами соотношений вдоль характеристик.«Нестационарные» ГДФ применяются взамен соотношений вдоль характеристик для удобства записи отношения параметров газа по обе стороны от фронта простой ВКА в решениях элементарных задач нестационарной ГД.

60. Закономерности движения уединенных ВКА по трубопроводу с F=const.

Волны конечной амплитуды. Введем понятие волны конечной

амплитуды (ВКА), как такого возмущения в газе,сопровождающегося

конечным изменением скорости частиц u и параметров состояния среды—p, T и др.

В отличие акустических волн, в которых диапазон изменения дав-

лений _p составляет до 10−4 . . . 10−2 Па, и которые распространяются по газу со скоростью звука c, при движении ВКА локальные скорости распространения элементарных возмущений составляют u ± c (для упругих возмущений) и u (для элементарных волн вещества). Что важно,в при движении ВКА скорости элементарных возмущений претерпевают существенные изменения по длине волны, что вызывает изменение

ее профиля (нелинейность процесса).

Удобный объект для изучения особенностей ВКА в каналах—уеди-

ненная ВКА. Определим ее как возмущение одного из инвариантов Римана над «фоновым» его значением в однородном, как частный случай—в неподвижном газе. Такое возмущение легко задать либо в НУ, либо в ГУ. Как показано выше, если (а) закон возмущения I+ или I− гладкий, (б) сечение канала постоянное, (в) течение — адиабатное (qw = 0)

и (г) нет трения о стенку (rw = 0), то вначале возникнет изоэнтропная ВКА сжатия или разрежения (движущаяся вправо при возмущении I+

или влево, при возмущении I−). Знак возмущения I+ или I− определяет «знак» получающейся ВКА — так, при I+ < I+0 получается волна разрежения т. д. Данное «правило знаков» легко получается из выражений для скорости звука и скорости потока в любой точке (x, t) через инварианты Римана:

Изоэнтропная уединенная ВКА (УВКА) переносит массу и энергию.

Перенос массы связан с тем, что с приходом волны частицы газа вовлекаются в движение и в итоге перемещаются на конечную величину, испытывая обратимое сжатие и расширение, а после «спада» волны остаются

в покое, с параметрами состояния, равными «фоновым». Хвост и голова волны вначале движутся со скоростью звука по «фоновому» газу.Избыточное значение полной энергии— —в такой волне сохраняется постоянным.