48. Течение в идеальном сопле (канале). Параметры и газодинамические функции стационарного торможения. Число м.

Модель идеального течения в каналах и соплах. Особенно удоб-

но связывать через газодинамические функции (ГДФ) параметры состояния в разных сечениях канала в рамках модели идеального (обратимого) течения в каналах и соплах. В таком допущении

температура торможения T∗, давление торможения p∗ и энтропия s = s∗ сохраняются при переходе от сечения к сечению. Рассмотрим сужающееся сопло, в которое поток попадает из емкости 1, где p∗1 =p1, T∗1 = T1 и F1 → ∞. В сечениях ниже по потоку нетрудно определить статические параметры, если известно соответствующее сечению число M. Опуская в символической записи ГДФ зависимость

от отношения теплоемкостей ϒ, имеем:

p/p∗ =p/p1= π(M),T/T∗ =T/T1= τ (M).

Значение Mc < 1 (в узком сечении сужающегося сопла, т. е. на его срезе) соответствует дозвуковой скорости потока во всем сопле(рис. 10, а). Для этого режима характерно равенство pc = p2 (граничное условие «стыковки» с емкоcтью 2), которое означает, что частицы газа внутри сопла претерпевают полное расширение от давления p1 до p2 (теоретически, при qw = τw = 0—по изоэнтропе).

Газодинамические функции стационарного торможения.

Сказанное выше верно независимо от вида уравнения состояния.Мы же ограничимся здесь и далее описанием течения однородного по составу идеального совершенного газа, для которого термическое

уравнение состояния есть p = ρRT, где R = cp − cv, cp = const1, cp =const1, ϒ= cp/cv = const2, а калорическое уравнение состояния берется в также частном виде h = h(ρ, T) = h(T) = cpT . Введем для температуры полного стационарного торможения T∗ определяющее соотношение h∗ = cpT∗, где h∗ = h + u2/2 — полная энтальпия (энергосодержание) в данной точке или сечении потока. Как известно из теории движения невязкого газа (см. выше), температура T∗ характерна для частиц газа в критической точке струйки потока при набегании на поставленное в потоке препятствие. На практике это оправдано в течениях маловязких газов, обладающих малой же теплопроводностью, т. е. при больших Re = ρul/μ , где l—характерный поперечный размер препятствия. Таким препятствием может быть «трубка Пито» (англ. Pitot tube,см. рис. 11.1).Переход от статического давления p к давлению стационарного торможения p∗ (измеряемому в той же критической точке) производится соглаcно условиям сохранения энергии и энтропии (для струйки потока),т. е. считается, что частица среды претерпевает адиабатный изоэнтропный процесс, для которого, в частном случае идеального совершенного газа справедливо уравнение адиабаты Пуассона.

В оговоренных выше условиях определяемая приемником полного давления (трубкой Пито) величина давления стационарного торможения p∗ близка к теоретической; исключение составляют сверхзвуковые течения, где частицы газа на пути к трубке Пито пересекают отошедший

прямой скачок уплотнения, что должно учитываться при интерпретации измерений (с. 149).

Определим зависимость параметров стационарного торможения p∗, T∗ (и других) от статических параметров потока в том же сечении p, T, c и скорости u. С учетом выражений

для T∗, h∗,M = u/c, cp =ϒ R/(ϒ−1) и c = √ϒRT:

h∗ = cpT∗ = cpT +u2/2,T∗ = T+u2/2cp= T(1 +u2/(2cpT))= T(1 +u2/(2/(ϒ−1)*c2)= T(1 +(ϒ – 1)/2*M2).

а c учетом других форм уравнения изоэнтропы, получим выражения для отношений статических параметров к параметрам стационарного торможения в том же сечении:

T/T∗ = _τ(M, ϒ) =1/1 +((ϒ −1)/2)*M2 ) , (11.9)

Группа выражений (11.9) – (11.12) получила наименование газодинамическихфункций стационарного изоэнтропного торможения. Они удобны для пересчета статических параметров состояния

в движущемся потоке в параметры стационарного изоэнтропного торможения («заторможенные» параметры) и обратно, при известном значении числаМв данной точке (или в данном сечении однородного) потока.

ЧислоМ, определяемое как отношение скорости потока u в сечении к скорости звука c в этом же сечении, играет важную роль параметра режима течения, определяющего степень проявления эффектов сжимаемости в потоке.