71. Метод характеристик и сеточно-характеристический метод.

В классическом методе характеристик для решения уравнений одномерной нестационарной газовой динамики на плоскости (x, t) вводится сетка, узлы которой располагаются в точках пересечения характеристик трех семейств, а само положение точек определяется в процессе численного решения. Параметры потока в этих узлах определяются из соотношений вдоль характеристик для выбранной модели течения. Этот численный метод был впервые предложен Массо. Метод применялся для расчета пульсирующих воздушно-реактивных двигателей во времена, когда не существовало ЭВМ.

При численном расчете нестационарного течения совершенного газа с одной пространственной координатой для определения параметров решения в узлах в общем случае нужно использовать конечно-разностные соотношения вдоль характеристических кривых вида (12.10). Данные соотношения несправедливы на разрывах искомых функций, и при наличии разрывов в численном решении возникнут погрешности (на разрывах теряется аппроксимация исходных интегральных законов сохранения). Можно обойти указанное затруднение, если явно выделять поверхности разрывов в процессе расчетов и применять к ним специфические соотношения на разрывах, что значительно усложняет логику расчетов. Все численные методы, описываемые ниже, не требуют упомянутого явного выделения разрывов. По этому признаку такие методы (или разностные схемы) относят к классу методов сквозного счета (ан- гл. schock-capturing schemes). При расчете методом характеристик можно достичь второго порядка аппроксимации как по времени, так и по пространству, в подобластях гладкости решения, для чего параметры в узле D и его координату на (x, t) следует определять итерационно, с подстановкой средних арифметических значений параметров в узлах A, B, C, и D в разностные формулы на основе (12.10) для определения приращений инвариантов Римана I±D и удельной энтропии sD (см. рис. 13.1). Достоинством метода характеристик является наглядность при проведении расчетов, недостатком — сложность метода в варианте с явным выделением разрывов или же потеря аппроксимации при использовании его в качестве метода сквозного счета. Для расчетов на ЭВМ более удобны методы расчета на фиксированной по xи t сетке. Так, сеточно-характеристический метод использует те же соотношения вдоль характеристик для обновления параметров в узлах сетки на новом слое по t. Опишем вариант метода с фиксированной и равномерной по и t сеткой, в котором распределения искомых величин — I± и s — на старом временнoґ м слое находятся линейной интерполяцией между узлами сетки, разрывы искомых функций не рассматриваются. Конечно-разностные формулы метода для вычисления термогазодинамических параметров в узле (xi, tn+1) получим из соотношений вида (12.10) для плоских квазиодномерных движений совершенного газа

Для шаблона сетки, показанного на рис. 13.2, формулы метода имеют вид:

где «источниковые» члены S вычисляются по средним арифметическим параметрам c, u, F, dF/dx , tau_w, T, dq/dt , λ, ρ, dэ, Tw и α (но не s!) между соответствующими точками, например c_AD = 21 (cA + cD) и. т. д. При этом для уточнения значений параметров в точке D требуется применять формулы метода итерационно, уточняя на каждой итерации также координаты по x точек A, B, и C, соответственно, и значения параметров потока в них. Примем для определенности, что u_AD + c_AD ≥0, и u_BD−c_BD ≤0 и u_СD≥0,тогда линейное интерполирование решения на старом слое по времени проводится по формулам: