12. Уравнения движения в напряжениях. Уравнения гидростатики.

Уравнения движения в напряжениях. Полезно несколько преобразовать ЗС коли­чества движении с использованием ЗС массы. Возьмем уравнения (количества) движения в «развернутом» виде, рассмотрим первое из трех уравнений: — для x компоненты плотности кол-ва движении (уравнение движения в проекции на x координату):

Распишем производные произведений искомых функций:

Сгруппировав слагаемые

замечаем, что второе выражение в скобках, согласно ЗС массы равно нулю. Вводя обо значение субстанциональной производной

и заменяя второе выражение в скобках на обозначение субстанциональной производной ско­рости u, а затем проводи аналогичные преобразовании дли уравнении движении по y и но z, получим векторное уравнение движения «в напряжениях":

Смысл уравнения: ускорение индивидуальной частицы (а это (Dv/Dt) определяется действием на нее массовых и поверхностных сил. Интенсивность поверхностных сил задается пространственным полем напряжений, выраженные компонентами тензора П'ij. Это уравнение. таким образом, является обобщением закона сохранения количества движения материальной точки на гидродинамические явления. Поэтому, вместо обозначении (Dv/Dt) в гидродинамике также используют обозначение [dv/dt) для величины полного ускорения части­цы.

13. Сила гидростатического давления. Равнодействующая гидростатических сил. Закон Архимеда.

Равнодействующая сил гидростатического давления. Сила давления на элементар­ную площадку, условно и произвольно проведенную в жидкости, или на элемент твердой стенки в гидростатике вычисляется по давлению (нормальному напряжению). Элементарная сила действует по нормали к площадке или стенке (закон Паскаля). Соответственно, касатель­ные напряжения в неподвижной жидкости отсутствуют при любой ориентации площадки d . Равнодействующая сил гидростатического давлении есть главный вектор силы, определяемой как инеграл по элементарным площадкам смоченной поверхности стенки. Эта равнодейству­ющая как бы приложена в точке ЦТ рассматриваемой поверхности (без доказательства).

Закон Архимеда, в его общепринятом виде, справедлив и выводится в рамках того же допущения Рассмотрим для определенности полностью погруженное в жидкость тело, на очертания которого наложены простые ограничения. Проекция на ось z

главного вектора выталкивающей (Архимедовой) силы, как равнодействующей сил гидро­статического давления по всей его поверхности, определяется интегралом.

Других составляющих выталкивающая сила не имеет и приложена к центру тяжести объемной фигуры - поэтому погруженное в жидкость тело из однородного материала и нахо­дится в ней в состоянии безразличного равновесия.

Модуль интеграла представляет объем, заключенный внутри смоченной поверхности тела; с учетом этого запишем (известное более 2000 лет) выражение для модуля Архимедовой силы:

Нетрудно показать, что уравнение верно и для тел сколь угодно сложной формы. В тех случаях, когда при погружении тала образуются карманы (содержащие воздух), выталки­вающая сила должна определяться для суммарной фигуры, причем точка ее приложения не совпадает с ЦТ собственно тела.

В частном случае гидростатики в проекциях на оси декартовых координат запишется как

Это уравнение может служить для расчета поля гидростатического давления p = p{x. y. z] в жидкости по заданному полю.

14. Уравнении Эйлера. Уравнения, описывающие движение общего вида дли идеальной жид­кости можно получить, отбросив члени с вязкостью (П"ij = 0) и теплопроводностью ( = 0) в законах сохранения; получим систему законов сохранения в дивергентной форме

Систему уравнений называют (в технических приложениях) уравнениями Эйлера, хотя.

строго говори, уравнением Эйлера следует называть лишь векторное уравнение движения (бех учета массовых сил) вида

учитывая массовые силы и вводя субстанциональную производную оператором

получим уравнение движения в виде

из которого видно, что полное ускорение частицы определяется в любой идеальной жидко­сти неоднородностью поля гидродинамического давления и массовыми силами. Так становится наглядным (если перейти и систему координат и индивидуальной частицы) родственность закона сохранения количества ее движения 2-му закону Ньютона для материальное точки

Уравнении Эйлера удобно представлять в символической «векторной» форме, записывая все уравнения одной строкой. В общем случае трехмерных нестационарных течений: