72. Метод распада произвольного разрыва с. К. Годунова.

С. К. Годуновым [5] было показано, что среди линейных схем с порядком аппроксимации выше первого не существует схем, гарантирующих монотонностьрешения (теорема Годунова). Консервативная схема обновления параметров в ячейке для системы уравнений , соответствующая классической схеме Годунова, одношаговая и «трехточечная» на нижнем слое по времени, имеет вид где (Fx)ⁿ_i−1/2 — газодинамические потоки, определенные из точного решения задачи о РПР на границе с индексом i − 21 на «старом» временно м слое, а S_iⁿ — источниковый член (отвечающий в уравнениях за эффекты трения, теплообмена со стенкой и переменное сечение канала), определенный в середине ячейки на «старом» же, n-м временном слое . Использование в схеме процедуры решения РПР позволяет определять потоки физически обоснованно, на базе интегральных законов сохранения. Поэтому схема С. К. Годунова может применяться как схема сквозного счета, позволяющая получать монотонные решения, которые при измельчении сетки сходятся к точным решениям задач, удовлетворяющим интегральным законам сохранения и содержащих сильные разрывы в решении, при практически любых значениях числа M. К недостаткам классической схемы Годунова относятся ее невысокая точность (следствие сильной схемной диссипации при низком -первом — порядке аппроксимации в подобластях гладкости решения) и большие вычислительные затраты на решении задачи о РПР.

73.Метод Годунова для решения пространственных задач мжг по уравнениям Эйлера.

Отметим, что классическая схема первого порядка совершенно непригодна для расчетов по технологии МКВ. Запишем общую систему уравнений пространственного нестационарного течения реагирующей смеси вида в «векторной» форме: где U = [ρ1, . . . , ρK, ρu, ρv, ρw, ρE]^T — «вектор» неизвестных (объемных плотностей сохраняющихся величин), S =[W_1ωΣ1, ... , W_KωΣK, 0, 0, 0, 0]T — «вектор» объемной мощности источников/стоков. «Векторы» плотностей потоков сохраняющихся ве личин в координатных направлениях (x, y, и z) соответственно могут

быть представлены суммами «невязкой» и «градиентной» составляю-

щих: Fx = (Fx)_nv + (Fx)_gr и т.д. Алгоритм определения значений термогазодинамических параметров — плотности, давления, температуры и скорости звука на границах ячеек перед вызовом процедуры решения задачи о РПР — следующий. Сначала проводится обычная реконструкция газодинамических параметров в ячейках с их интерполяцией на границы, в которой вычисляются, параметры по обе стороны от, например, x-границы: (13.9)

При реконструкции также используются матричные преобразования; например, для координатного направления x матрицы имеют вид:

диагональная матрица собственных значений: [Λ_x] = diag (u, u, u + c, u − c) , матрица преобразования: обратная матрица:

Итак, стандартные процедуры реконструкции (13.9) и решения за-

дачи о РПР позволяют найти соответственно параметры ρ, u, v, w, E

на границах ячеек

74.Обобщения метода Годунова повышенной точности для одномерных и пространственных задач.

Класс схем типа Годунова повышенной точности, обобщающих классическую схему Годунова за счет того, что уточнения аппроксимации по пространству расширен шаблон ячеек, используемых при вычислении потоков на границах ячеек. Обобщения метода Годунова повышенной точности для одномерных и пространственных задач. Если бы без вреда для монотонности решений можно было использовать по две ячейки с обеих сторон от данной, то можно «реконструировать» решение в пределах ячейки по закону квадратичной параболы и достичь третьего порядка аппроксимации «одномерного» метода по x. Согласно теореме Годунова, такой метод на фиксированном шаблоне ячеек, будучи линейным, окажется немонотонным. Двухшаговый метод типа «предиктор-корректор» с кусочно-параболической реконструкцией на старом (n) и предварительном ((1)) новом Годунова повышенного порядка аппроксимации схематично показан на рис. 13.8; для реконструкции параметров на границах ячейки берутся значений функций в ячейке и двух соседних. Процедура реконструкции решения U по обе стороны от границы, например, с индексом i + 1/2, имеет следующий вид: Матрица преобразования [S] и обратная ей матрица [S]−1 взяты из преобразования дифференциала искомых консервативных переменных в дифференциал вектора плотностей потоков.

Опыт расчетов показывает, однако, что если компоненты газовой смеси менее чем на один-два порядка отличаются по молярным массам и изменение сечения канала, и интенсивность трения и теплообмена со стенкой соответствуют реально встречающимся условиям, то можно пользоваться соотношениями для плоского нестационарного движения однородного совершенного газа и имеют вид: