3.Изучение движения сплошной среды в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа.

Движение можно описать лишь по отношению к некоторой системе отсчета-системе координат. Выделяют два метода изучения движения сплошной среды-метод Лагранжа и метод Эйлера. Движение газа можно считать определенным только в том слу­чае, если известно все поле скоростей Состояние движущегося газа считается определенным, если известно поле двух термодинамических величин, например давления и плотности.

При изучении движения газа методом Лагранжа необходимо следить за «судьбой» каждой из частиц. Это можно сделать, если обозначить каждую частицу ее начальными координатами (a,b,c) в начальный момент времени (t=t₀). Координаты (a,b,c) называются переменными Лагранжа. Движение считается определенным, если известно решение системы уравнений:

(1)

Уравнения (1) описывают семейство траектории всех частиц газа.

Если при исследовании интерес то, что происходит в разные моменты времени в данной точке пространства, то используется метод Эйлера. Независимые переменные здесь- x,y,z,t. Они носят название переменных Эйлера. Движение в этом случае считается известным, если скорость задана как функция х,у,z и t, т.е. функции

(2)

определены.

Для перехода к решениям в форме Эйлера от решений в форме Лагранжа нужно разрешить систему уравнений (1) относительно переменных Лагранжа (а,b, с):

(3)

Если скорость задана в соответствии с точкой зрения Лагран­жа

то, подставляя вместо переменных(a,b,c) их значения из (3), находим скорость (как и другие параметры движущегося газа) как функцию переменных Эйлера (х, у, z). Очевидно, что описание движения газа по методу Лагранжа и Эйлера в механическом отношении совершенно эквивалентно друг другу.

Однако с точки зрения процесса получения решений как ана­литических, так и численных выбор метода может сыграть ре­шающую роль. Существуют эффективные численные методы для расчета нестационарных течений газа, в которых одновременно используются как переменные Лагранжа, так и переменные Эй­лера (например, метод частиц в ячейках, метод крупных частиц

и др.).

4.Уравнения состояния. Идеальный и совершенный газ. Отношение теплоемкостей. Уравнения состояния капельных жидкостей.

Уравнения состояния обычного вида будет поэтому допустимо использовать во всех случаях, когда возможно вычислить значение некоторого термодинамического параметра, как зависимого. Для связи между собой собственно параметров состояния сжимаемой (в общем слу­чае) жидкости необходимо и достаточно знать два независимых уравнения — термическое УС вида

и калорическое УС вида

где е — удельная внутренняя энергия данной жидкости, ρ и Т термодинамическое давление и температура: т. е., по известным температуре Т и плотности ρ в некоторой точке, совершенно справедливо давление вычислять по (1), а удельную внутреннюю энергию — по (2).

Идеальный и совершенный газ. В пределе достаточно больших температур и малых плотностей вещество в газовой фазе ведет себя как идеальный газ (англ. ideal gas), когда соб­ственный объем частиц и силы из взаимного притяжения становится пренебрежимо малы. Зависимость давления идеального газа от его плотности и температуры описывается термическим УС, которое есть, частый случай общей формулы (1):

где R — удельная газовая постоянная, определяемая соотношением R = R⁰/W. в котором R⁰=8,3142 Дж/ (моль·К) — универсальная газовая постоянная. W — масса 1 моля газа. Для воздуха с W ≈0,0289 кг/моль. R≈287,1 Дж/(кг-К).

Укачанные выше особенности среды, близкой к идеально-газовому состоянию обуславливают зависимость внутренней энергии только от температуры, как меры средней кинетической энергии молекул а хаотическом движении. Температурную зависимость е(Т) дли идеального газа принято выражать известным из термодинамики тождеством

где c_v(T) — температурная зависимость удельной теплоемкости при постоянном давлении.

Дли идеального газа (или постоянного состава смеси таких газов) уровень величины е(T₀) может быть задан произвольно, как и «базовое» значение температуры T₀. например, при e(0)=0

Во многих задачах охватываемый интервал температур не так велик, чтобы могло заметно проявиться отличие c_v(T) от постоянного значения, и, соответственно, отличие зависимости е(Т) от линейной. По укачанным выше соображениям в этом случае рационально применять линеаризованный вариант зависимости (3) — с некоторым постоянным значением теплоемкости c_v0, характерным для применяемого интервалa температур, например, средней теплоемкости – . Гипотетический газ, обладающий таким свойством, называется (калорическим)совершенным газом, англ. (calorically) perfect gas. Обозначаем здесь и в дальнейшем постоянное значение теплоемкости как с_v. Текущее значение (для данной Т) или саму зависимость будем обозначать с_v(Т). Запишем калорическое уравнение состояния для совершенного газа:

Так как pакон Майера справедлив и в частном случае совершенного газа, то при с_v = const теплоемкость при постоянном давлении с_р также постоянна, и отношение теплоемкостей-

ость постоянная величина. При температурах до 1000 К можно принять, что для одноатомных газов и их смесей γ =1,67, для двухатомных и смесей γ=1,40, для трех- и многоатомных — γ=1,25. Для продуктов сгорания углеводородных топлив в выпускных трактах тепловых двигателей принимают γ=1,33…1,36.

Уравнения состояния капельных жидкостей. Такие жидкости обладают значительной «жесткостью», в том смысле, что значительное повышение давления вызывает лишь малое приращение плотности. Это часто отражается самим ни дом полуэмпирической зависимости, используемой в качестве УС капельной жидкости. Для воды и ряда других капельных жидкостей при высоких давлениях часто используют уравнениесостояния Тэта

В этом уравнении В- слабо зависящая от энтропии s величина (обычно считают В = const), а ρ₀ —плотность при нормальном давлении), γ – коэффициент для УС Тета.