10. Теоретико-множественный смысл деления с остатком на множестве целых неотрицательных чисел.

Разделить с остатком целое неотрицательное число а на натуральное число b - это значит найти такое целое неотрицательное число q и r, что верно равенство а= b q+ r, где r больше или равно а и меньше b.

При делении с остатком утверждение о существовании частного не распространяются. Мы можем выполнить деление с остатком даже в таком случае, если а меньше b, например: 2:4=0 (ост.2).

Для деления с остатком выполняется следующее утверждение: для любого целого неотрицательного числа а и натурального числа b, всегда найдутся такие целые неотрицательные числа а и  r, что будет выполняться равенство а = b q+ r,  где r больше или равно а и меньше b.

Числа q и r удовлетворяющие этим условиям не только существуют, но и единственные. Рассмотрим теоретико-множественный смысл деления с остатком. Пусть при делении а на b, получится частное q и остаток r - а : b= q (ост. r)

Возьмем множество А, при делении а на b, множество А разбивается на q попарно пересекающихся подмножества или класса. В каждом из которых будет по "b" элементов и выделяется еще одно подмножество х, в котором будет "r" элементов. 8:3=2(ост.2) А=ООО/ООО/ОО  А= А1 V А2 V А3…А q V Х, т.к. подмножество попарно не пересекаются, то определение суммы можно понимать n(Aq)+n (X) . Число элементов множества А равно число элементов множеству А1 плюс числу элементов множества А2. Подставим численность этих элементов множеств а = b + b + b + b… b+ r          а = b q+ r         

                                             q

Таким образом ТМС деления с остатком заключается в том, что при делении множество А разбивается на попарно пересекающиеся подмножества, при чем q их них содержит по "b" элементов и выделяется еще одно подмножество, которое содержит r элементов.

Знакомство с понятием "деление с остатком" в начальном курсе математики. Обучение мл.шк. приемам деления с остатком.

В начальном курсе математики учащиеся знакомятся с делением с остатком. Знакомство происходит поэтапно:

1 этап: учащиеся знакомятся с понятием "деление с остатком", формой записи. Сначала учитель  предлагает детям решить задачу: 6 яблок разложили на тарелку по два яблока на каждую. Сколько потребовалось тарелок? Дети ее с легкостью решают и получают 3. 6:2=3 Затем учитель предлагает следующую задачу: 7 яблок разложили на тарелки по 2 яблока. Сколько потребовалось тарелок?

Дети понимают, что эта задача решается тоже делением и говорят, что эта задача целенаправленная, потому что 7 на 2 не делится. Тогда учитель предлагает решить задачу практическим методом    ООО/ООО/О Мы видим, что потребовалось 3 тарелки и при этом еще одно яблоко осталось. В этом случае мы также будем решать задачу действием деления, но при этом мы получаем деление с остатком. 7:2=3 (ост.1) 7- делимое, 2-делитель, 3-неполное частное, 1- остаток. Затем учащиеся вспоминают связь между компонентами действия деления: если частное умножить на делитель, то получим делимое. Учитель говорит, что при делении с остатком эта связь сохраняется, но мы должны прибавить остаток 7=3*2+1

2 этап: затем учащиеся знакомятся с правилом, что при делении с остатком, остаток всегда меньше делителя. С этой целью учащиеся решают серию примеров на деление на одно и тоже число, например на число 3.

4:3=1 (ост 1)         ООО/О

5:3=1 (ост 2)         ООО/ОО

6:3=2 (ост 0)         ООО/ООО

7:3=2 (ост 1)         ООО/ООО/О

8:3=2 (ост 2)         ООО/ООО/ОО

9:3=3 (ост 0)         ООО/ООО/ООО

10:3=3 (ост 1)       ООО/ООО/ООО/О

Дети получают результаты, используя рисунок, и узнают, сколько раз по 3 содержится. Учитель спрашивает, на какое число делили? Какие числа получились в остатке? Это не случайно, запомните, что при делении с остатком, остаток всегда меньше делителя.

3 этап: затем учащиеся знакомятся с вычислительными приемами деления с остатком. Вычислительный прием основан на знании таблицы деления: 32:6 - 32 не делится на 6 без остатка. Найдем самое большое число до 32, которое делится на 6. Это число 30. 30 делится на 6, получается 5. Находим остаток:32-30, получается 2. 32:6=5 (ост 2)

Второй вычислительный прием основан на методе подбора 56:12. Узнаем на какое число нужно умножить 12, чтобы получить число 56 или самое большое число до 56, это 4 ; 12*4 =48. 56:12=4 (ост 8)