13.Позиционные и непозиционные системы счисления. Особенности десятичной системы счисления. Сравнение чисел в десятичной системе счисления.

Системой счисления -  называют язык для наименования чисел, записи чисел и выполнение арифметических действий над числами.

Существуют различные системы счисления названия которых зависят от того сколько знаков ( цифр)  используется для записи чисел. В десятичной системе счисления для записи чисел используется 10 знаков (цифр) 0 -9. Рассмотрим число 6384 - это краткая запись числа в десятич. сист. счисл., которая содержит 6 тыс. единиц, 300единиц, 80 единиц, 4 единицы. Мы можем представить это число суммой степени числа 10 с коэффициентами: 6384= 6 ?10? +3?10? + 8?10? +4?10? . В начальном курсе матем. уч - ки представляют число суммой разрядных слагаемых: 6384= 6000+ 300+80+4.

В общем виде десятичной записью числа называется его представление суммой степеней 10 с коэффициентами: Х =а? ?10?+ а????10???+ а????10???…а??10?+а??10+а?, где а?, а???, а???…а?, а?, а? коэффициенты, которые могут принимать любые значения от 0 до 9, причем а??0, для того чтобы выполнить краткую запись числа записывают только коэффициентами: х = а?,  а???… а?, а?, а?. 1,10, 10?,10?.. - это разрядные единицы соответственно 1,2,3… - разряды, причем 10 единиц одного разряда = 1 единице следующего разряда:

10ед = 1 дес

10 дес = 1 сот.

10 сот = 1 тыс

Первые 3 разряда справа образуют класс единиц, следующие 3 разряда образуют класс тыс., следующие 3 разряда образуют класс сот. Системы счисления бывают позиционными и непозиционными. Дес. сист. счисл. является позиционной это означает, что значение каждой цифры в записи числа зависит от того места ( позиции), которую она занимает, например: 325(20 дес), 261( 200 сот), 742 (2ед).

В непозиционной сист. счисл. значение цифры постоянно и не зависит от того места, которое она занимает. Примером такой системы является  римская сист счисл. 33 ( 10,10,10,1,1,1 запись римскими). В дес. сист. счисл. сравнивают числа. Возьмем 2 числа   Х и У и представим их десятичной записью:

Х = а? ?10?+ а????10???+ а????10???… а??10?+ а??10+ а?

У= в??10?+в????10???+ …в??10?+ в??10+в?

Число Х меньше числа У (Х<У), если выполняется одно из условий:

1)        n<а количество разрядов в числе Х меньше количества разрядов в числе У (926<2008)

2)        n = а , но а? < в?  (2358< 4009)

3)        n = а, а? = в?,  а??? = в??? (3876< 3891 - 7 дес и 9 дес)

Основные задачи и виды упражнений по их реализации при изучении нумерации чисел больших 1000…

При изучении нумерации чисел больше 1000. Отрабатываются следующие знания, умения и навыки:

1.        Умение называть числа

2.        Умение записывать числа

3.        Принцип образования натурального ряда

4.        Порядок следования чисел в натуральном ряду

5.        Разрядные составные числа

6.        Соотношения между разрядами

7.        Умение сравнивать числа

8.        Классовый состав числа

9.        Позиционность десятичной системы счисления

Для осуществления реализации всех этих задач целесообразно выполнять след. Виды упражнений:

1.        Уч - ль показывает, и дети их называют, или называют число, следующее за ним, или называют соседние числа

2.        Уч - ль диктует числа, дети их записывают: сначала пишут единицы класса тыс., а  затем единицы класса единиц.

3.        Решение примеров вида: 3625±1

4.        Какие числа пропущены: 3826, ., 3828,..,3831

5.        Разбросаны числа - поставить в порядке возраст. или убыв.

6.        Представьте число суммой разрядных слагаемых 26561 = 20000+ 6000+500+60+1

41009 - что обозначает каждая цифра в записи числа

7.        562365  - сколько в числе всего единиц, дес., сот., тыс.(56236 - дес., 5623 - сот, 562 - ед. тыс., 56 - дес. тыс., 5 - сот тыс.)

8.        Уч - ки сравнивают числа, поразрядно начиная с высшего разряда. Можно давать задания типа,: какие цифры можно вставить в окошко, чтобы получилось верное неравенство: 3 окошко 56 > 3 окошко77

9.        Сколько единиц каждого класса в записи числа 56325( 6 ед. - класс тыс., 325 ед - класс - ед.) сначала дети  находят справа 3 разряда и вслух называют класс ед., затем еще 3 и получают класс тыс.

10.        Используя цифры 3,2,6,8 записывают всевозможные четырехзначные числа

2 вопрос: При выполнении данного задания уч - ки  могут рассуждать так:

1)        В правом числе есть тысячи, в левом нет тысяч, значит левое всегда будет меньше правого, в окошки вставить любые цифры.

2)        В левом числе 3 тыс., в правом 2 тыс. 3 тыс. >2 тыс. значит, правое число всегда больше левого в окошки вставить любые цифры

3)        Сотен одинаково, дес. Одинаково, значит чтобы левое число было меньше правого число единиц должно быть меньше отсюда разные варианты, например: если в 5, то в правом <6,7,8,9.