2 Вопрос:

правильное рассуждение: МЫ не можем из 4 вычесть какое - либо число , чтобы получилось 8 и поэтому, возьмём десяток получим число 14 , чтобы получилось 8 надо вычесть 6 . При вычитании дес. Мы можем найти сумму чисел 3 и 2.

16.Алгоритм умножения многозначных чисел в десятичной системе счисления, теоретические положения, лежащие в его основе.

Если числаa a и b однозначные, то чтобы найти их произведение достаточно подсчитать число элементов декартово произведения множеств a и b. Таких что n(А) =  А, n(В) = В или мы можем найти произведение заменив умножение сложением одинаковых слагаемых, но что бы каждый раз не прибегать к таким способам все получаемые результаты записываются в спец. Таблицу, код. Называется таблицей умножения однозначных чисел. Если числа a и b многозначные, то их умножают письменно записывая пример в столбик. Рассмотрим напис. теоретич. положения лежат в основе алгоритма умножения многозначных чисел на конкретном примере 328 o 563 =  ( 238 ) o (5 o10? + 6 o 10 +3 ) =

Представим 2- ой множитель суммой степени число 10 с коэффициентами.

ПО распределительному закону умн.относ. слож. Раскрываем скобки

=328 o (5 o10?) +  328 ( 6 o 10) +328 o 3 =

ПО сочетательному закону  умн. перегруппируем множители

=(328o5) o 10? +(328 o6) o10+ 328o 3 =

Мы видим что умн. Многозначных чисел сводиться к умножению многозначного числа на многозначные числа записанные цифрами соответствующих разрядов 2-ого множителя и на степень числа 10.

Рассмотрим, какие теоретические положения лежат в основе умн. Многозначного числа на однозначное .

Представим число 328 суммой числа 10 с коэффициентами

328 o3=(3o10?+2o10+8) o3

По распределительному закону умн. Относ. Сложения раскрываем скобки.

(3 o10?)o3+(2o10)o3+8o3=

По сочетательному, переместительному и опять по сочетательному св-ву получаем

= (3o3)o10?+(2o3)o10+8o3=

Мы видим что умножение многозначного числа однозначное свелась к умножению однозначных чисел 

Найдём их примерами по табл.  умн. Получаем

= 9o10?+6o10+24=

Полученная запись не явл. спосбом записи чисел в д.с.с.    т.к. не один коэффициент не может быть больше 9, у нас 24 поэтому выполняем дополнительные преобразование .

Представим число 24 как 2o10 +4

= 9o10?+6 o10+(2o10+4)=

по сочитательному св-ву слож. Перегруппируем  слагаемое

9o10?+(6o10+2o10)+4=

По распределительному закону умножения относ. слож. вынесем 10 за скобку получаем

9 o10?+(6+2)o10+4=

найдём сумму по таблице сложения    9o10?+8o10+4=984

получили запись числа 984 в д.с.с.

Рассмотрим правила умножения числа на  степень числа 10 а конкретном примере               

328 o 10? =

Представим число 328 суммой степеней числа 10 с коэффициентами

(3 o10?+2o10+8)o10?=

По распределительному закону умножения относ. слож. и св-ву степени получаем

3o10+2o10?o8o10?=

Данная запись не является способом записи чисел в д.сс.    т. к. отсутствует 1 -ая и 0-ая степень числа 10

Для того чтобы эти степени  были, но при этом сумма не изменилась запишем их  с коэффициентами равными 0.

= 3o10o2o10?+8o10?+0 10?+0 10?=

полученная запись является записью числа

= 32800

Отсюда правила: для того чтобы  умножить число на степень числа  10 достаточно приписать столько нулей чему  равен показатель степени числа 10

3o10+2o10?+0o10?+0o10?+0o10?

Таким образом  в основе алгоритма многозначных чисел лежат  следующие теоретич. полож. :

1.        Способ записи чисел в д. с. с

2.        Распределительный закон умн. относ. слож.

3.        Сочетательное св-во  умн.

4.        Переместитеоьное св-во Умн.

5.        Табл. умн. одн. чисел

6.        Сочетательное св- во слож.

7.        Табл. сложн. одн. чисел.

Алгоритм умножения многозн чисел сводиться к следующему :пишем 2 - ой множитель под соот. Разрядами перврго множителя. Умножаем первый множитель на однозначные числа записанные цифрами соотв. разрядов первого множителя начиная с разряда единиц. При этом получаем неполное …………………  кот. начинаем надписывать над соотв. разрядами ( сдвигаем в лево на один разряд ). Это объясняется тем что мы умножаем не только на одн. Числ , но и на степень числа 10, но нули мы не пишем т. к. при сложении они не влияют на результат. Если при умн. одн. чисел результат не больше 9, то его записываем над соответствующем разрядом ; если получаем число больше 9, то представили …………10q+Со,где Со-однозначное число нач. запис. Под соотв. разрядом,а числоq прибавляем к единицам следующего разряда после их умножения. Полученные неполные произведения складываем.

Методика ознакомления с алгоритмом письменного умножения.

В нач. курсе мат. уч-ся знаком. С алгоритмомписьм. Умнож., поэтапно. Сначало учитель предлагает решить пример выполнив устное вычитание.

24o2=(20+4)=20o2+4o2=40+8=48

затем по аналогии уч-ль предлаг. умн. 3-х значн число

243o2=()200+40+3)o2=200o2+40o2+3o2=400+80+6=486

уч-ль говорит что устно не всегда удобно умножать 3-ные числа на однозн. поэтому их умножают письменно записывая пример в столбик.

1)знакомят с новой формой записи и алгоритмом умнож.      

Пишу 1-ый множитель 243 под ед. 1-ого множителя пишу 2-ой множитель ставлю знак умножения, провожу черту.     Умножаю единицы 3o2 получаю 6 пишу 6 над ед.  

Умножаю дес. 2o2 получ. 4 пишу над сотнями. Читаю ответ 486. 

    243            

*     2         

486        первый случай наиболее простой без перехода через разряд

2) второй случай с переходом через разряд

      328

  *      3

        84    умнож. ед 8o 3 получ. 24    24ед.- это 2дс. и 4 ед. пишу 4 под ед. а 2 под дес. Запоминаю и прибавляю и дес после их умножения

умнож дес 2o6 получ 6 да еще 2дес. получ8 пишу 8 под дес.

умнож сотни  3o3= получ 9   пишу 9 под сотнями

3)        затем рассматриваются случаи умножения чисел оканчивающихся 0, кот. так сводятся на умн. на однозн. число.

  4600

*   2

9200        пишу 2-ой множитель под первой цифрой справа отличный от нуля 1-го множителя.

Умножаю не обращая внимания на 0(краткий способ проговаривания)

6o2 получ 12

2 пишу 1 запоминаю

4o2 получ. 8 да еще 1 получ 9   и к полученному результату приписываем столько нулей сколько нулей их было в конце записи 1-ого множителя.

4)        умнож. На числа оканчив. 0

37

  *    2000

      74           в основе лежит сочет св-во умнож.

Пишу 2-ой множ. Над 1-ым так чтобы первая цифра спава отличная от нуля второго множит. была над ед. первого множит. Умножаю не обращая внимание на 0 и к получен рультату прибавляю столько нулей ск-ко их было в конце записи второго множителя.

5)        умнож. Чисел ок 0

          56000

       *   3000

        16800000     пишу второй множитель под 1-ым так чтобы первая цифра справа отличная от 0 2-ого  множителя была под 1-ой цифрой справа отличная от 0 первого множителя.Умножаю не обращая внимания на 0 и к получ. рез-ту приписываю столько 0 сколько было в конце записи 1-ого и 2-ого множителей вместе.При изучению алгоритма письменного уч-ся могут допускать след. Ошибки.

1.        начинают подписывать неполные …………не под соответствующими разрядами забывают сдвигать влево

2.        забывают прибавить единицы к единицам разряда после их умножения.

3.        сначало прибавляют единицы к единицы след. Разряда а затем умножают

для предупреждения ошибок целесообразно выполнять следующее см алгоритм слож чисел